積分因子の公式

$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$ とおく;連鎖律で微分すると、指数 $\int P(x)\,dx$ の導関数が $P(x)$ であることから $\mu'(x)=P(x)\mu(x)$ が得られる。

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ の両辺に $\mu(x)$ を掛けると、$\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$ となる。

積の法則により $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x)y'(x) + \mu'(x)y(x)$ であり、$\mu'(x)=P(x)\mu(x)$ なので、これは上式の左辺 $\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y$ にちょうど等しい。したがって方程式は $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x)Q(x)$ となる。

両辺を $x$ について積分すると、任意定数 $C$ に対して $\mu(x)y(x) = \int \mu(x)Q(x)\,dx + C$ が得られる。$\mu(x)$(指数関数なので決してゼロにならない)で両辺を割ると $y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x) Q(x)\,dx + C\right)$ が得られる。