一階微分方程式

この技巧は平方完成に似ている:方程式全体に、うまく選んだ因子 $\mu(x)$ を掛けることで、左辺が単一の積 $\mu(x)y(x)$ の導関数にまとまり、微分方程式を直接積分できるものに変える。

$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$ とおく;連鎖律で微分すると、指数 $\int P(x)\,dx$ の導関数が $P(x)$ であることから $\mu'(x)=P(x)\mu(x)$ が得られる。

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ の両辺に $\mu(x)$ を掛けると、$\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)$ となる。

積の法則により $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x)y'(x) + \mu'(x)y(x)$ であり、$\mu'(x)=P(x)\mu(x)$ なので、これは上式の左辺 $\mu(x)y' + \mu(x)P(x)y$ にちょうど等しい。したがって方程式は $\frac{d}{dx}[\mu(x)y(x)] = \mu(x)Q(x)$ となる。

両辺を $x$ について積分すると、任意定数 $C$ に対して $\mu(x)y(x) = \int \mu(x)Q(x)\,dx + C$ が得られる。$\mu(x)$(指数関数なので決してゼロにならない)で両辺を割ると $y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x) Q(x)\,dx + C\right)$ が得られる。

リプシッツ条件は $f$ が $y$ 方向にどれだけ急峻に変化しうるかを制限し、これにより近くの解の軌道が分裂したり交差したりするのを防ぐ。これはまさに、各点をちょうど一つの軌道が通る、明確に定義された流れを保証するために必要な条件である。

初期値問題を積分方程式に書き換えると、連続関数 $y(x)$ が $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ を解くことは $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$ を解くことと同値である。この同値性は微積分学の基本定理から従う。

連続関数に対するピカール反復作用素 $T$ を $T[y](x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$ で定義し、仮定が成り立つ長方形内に $f$ がとどまるように選んだ小さな区間 $I=[x_0-h,x_0+h]$ に制限する。

$I$ 上の2つの連続関数 $y_1,y_2$ に対して、リプシッツ条件より $|T[y_1](x)-T[y_2](x)| \le \int_{x_0}^x |f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))|\,dt \le L\,h\,\sup_{t\in I}|y_1(t)-y_2(t)|$ となる。$Lh<1$ となるほど $h$ を小さく選べば、$T$ は上限ノルムにおける縮小写像となる。

バナッハの不動点定理により、完備距離空間(上限ノルムを備えた $I$ 上の連続関数の空間)上の縮小写像はちょうど一つの不動点 $y$ を持ち、$y=T[y]$ を満たす。この不動点こそが、$I$ 上での元の初期値問題の一意な解である。