ピカール・リンデレフの存在一意性定理

初期値問題を積分方程式に書き換えると、連続関数 $y(x)$ が $y'=f(x,y),\ y(x_0)=y_0$ を解くことは $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$ を解くことと同値である。この同値性は微積分学の基本定理から従う。

連続関数に対するピカール反復作用素 $T$ を $T[y](x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t))\,dt$ で定義し、仮定が成り立つ長方形内に $f$ がとどまるように選んだ小さな区間 $I=[x_0-h,x_0+h]$ に制限する。

$I$ 上の2つの連続関数 $y_1,y_2$ に対して、リプシッツ条件より $|T[y_1](x)-T[y_2](x)| \le \int_{x_0}^x |f(t,y_1(t))-f(t,y_2(t))|\,dt \le L\,h\,\sup_{t\in I}|y_1(t)-y_2(t)|$ となる。$Lh<1$ となるほど $h$ を小さく選べば、$T$ は上限ノルムにおける縮小写像となる。

バナッハの不動点定理により、完備距離空間(上限ノルムを備えた $I$ 上の連続関数の空間)上の縮小写像はちょうど一つの不動点 $y$ を持ち、$y=T[y]$ を満たす。この不動点こそが、$I$ 上での元の初期値問題の一意な解である。