特性根による一般解の構造

試行解 $y=e^{rx}$ を用いる。このとき $y'=re^{rx}$、$y''=r^2e^{rx}$ であり、$ay'' + by' + cy = 0$ に代入すると $(ar^2+br+c)e^{rx}=0$ となる。$e^{rx}$ は決して0にならないので、特性方程式 $ar^2+br+c=0$ が導かれる。2次方程式の解の公式より $r = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

$\Delta>0$ の場合:二つの根 $r_1\neq r_2$ から解 $e^{r_1x}$ と $e^{r_2x}$ が得られる。そのロンスキアンは $(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}\neq 0$ であり、重ね合わせの定理により一般解は $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$ となる。

$\Delta=0$ の場合:重根 $r=-b/(2a)$ が一つだけあり、指数解 $e^{rx}$ は一つしか得られない。もう一つの独立解を見つけるため $y_2=v(x)e^{rx}$(階数低下法)を試して方程式に代入すると、$r$ が $ar^2+br+c$ の重根であるため $v$ と $v'$ の項が打ち消し合い、$av''e^{rx}=0$、すなわち $v''=0$ が残るので $v=c_1+c_2x$。これにより第二の解 $xe^{rx}$ が得られ、一般解は $y = (c_1 + c_2 x) e^{r x}$ となる。

$\Delta<0$ の場合:根は共役複素数 $r = \alpha \pm i\beta$ であり $\alpha=-b/(2a)$、$\beta=\sqrt{-\Delta}/(2a)$。オイラーの公式 $e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)$ により、複素解 $e^{(\alpha\pm i\beta)x}$ は二つの独立な実解 $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ と $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ になる($L$ の係数が実数であるため、実部と虚部もそれぞれ解になることによる)。よって一般解は $y = e^{\alpha x}\left(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)\right)$ となる。