線形微分方程式

微分は線形演算である:和の導関数は導関数の和であり、定数は外に出せる。方程式の左辺は $y$、$y'$、$y''$ に定数を掛けて足し合わせたものだけでできているので、二つの解の組み合わせを代入すると、単に二つのゼロを足すことになる。

$L[y] = ay''+by'+cy$ とする。微分は定数 $k$ に対して $(u+v)'=u'+v'$ および $(ku)'=ku'$ を満たすので、演算子 $L$ は線形である:$L[c_1y_1+c_2y_2] = a(c_1y_1+c_2y_2)'' + b(c_1y_1+c_2y_2)' + c(c_1y_1+c_2y_2) = c_1(ay_1''+by_1'+cy_1) + c_2(ay_2''+by_2'+cy_2) = c_1L[y_1]+c_2L[y_2]$。

$y_1,y_2$ は方程式の解なので $L[y_1]=0$ かつ $L[y_2]=0$ であり、したがって $L[c_1y_1+c_2y_2]=c_1\cdot 0+c_2\cdot 0=0$:組み合わせも解である。これで前半が示された。

後半については、線形常微分方程式の理論により2階方程式の解空間はちょうど2次元であることが保証される(初期条件 $y(x_0)=y_0$、$y'(x_0)=y_0'$ が唯一の解を定め、二つの自由パラメータを与える)。ある点 $x_0$ でロンスキアン $W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_2y_1'$ が0でないことは、連立方程式 $c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)=y_0$、$c_1y_1'(x_0)+c_2y_2'(x_0)=y_0'$ がどんな初期値に対しても一意な解 $(c_1,c_2)$ を持つことを意味する。よってすべての解はある $c_1y_1+c_2y_2$ に一致し、$\{y_1,y_2\}$ が2次元の解空間全体を張ることになる。

指数関数が自然な構成要素となるのは、$e^{rx}$ を微分すると単に $r$ 倍されるだけだからである。この試行解を定数係数の線形方程式に入れると、微積分が代数——多項式の根を求める問題——に帰着する。

試行解 $y=e^{rx}$ を用いる。このとき $y'=re^{rx}$、$y''=r^2e^{rx}$ であり、$ay'' + by' + cy = 0$ に代入すると $(ar^2+br+c)e^{rx}=0$ となる。$e^{rx}$ は決して0にならないので、特性方程式 $ar^2+br+c=0$ が導かれる。2次方程式の解の公式より $r = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

$\Delta>0$ の場合:二つの根 $r_1\neq r_2$ から解 $e^{r_1x}$ と $e^{r_2x}$ が得られる。そのロンスキアンは $(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}\neq 0$ であり、重ね合わせの定理により一般解は $y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$ となる。

$\Delta=0$ の場合:重根 $r=-b/(2a)$ が一つだけあり、指数解 $e^{rx}$ は一つしか得られない。もう一つの独立解を見つけるため $y_2=v(x)e^{rx}$(階数低下法)を試して方程式に代入すると、$r$ が $ar^2+br+c$ の重根であるため $v$ と $v'$ の項が打ち消し合い、$av''e^{rx}=0$、すなわち $v''=0$ が残るので $v=c_1+c_2x$。これにより第二の解 $xe^{rx}$ が得られ、一般解は $y = (c_1 + c_2 x) e^{r x}$ となる。

$\Delta<0$ の場合:根は共役複素数 $r = \alpha \pm i\beta$ であり $\alpha=-b/(2a)$、$\beta=\sqrt{-\Delta}/(2a)$。オイラーの公式 $e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)$ により、複素解 $e^{(\alpha\pm i\beta)x}$ は二つの独立な実解 $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ と $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ になる($L$ の係数が実数であるため、実部と虚部もそれぞれ解になることによる)。よって一般解は $y = e^{\alpha x}\left(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)\right)$ となる。