プット・コール・パリティ

今日、時刻 $t$ に2つのポートフォリオを組む。ポートフォリオAはコールオプション1つと、無リスク金利で運用され時刻 $T$ までにちょうど $K$ に育つ現金 $Ke^{-r(T-t)}$ を保有する。ポートフォリオBはプットオプション1つと株式1株を保有する。

満期 $T$ における2つの可能なケースでそれらの価値を比較する。$S_T \ge K$ の場合：コールは行使され $S_T - K$ の価値を持ち、現金は $K$ に育っているので、ポートフォリオAは $(S_T - K) + K = S_T$ の価値を持つ。プットは無価値のまま満期を迎え、株式は $S_T$ の価値を持つので、ポートフォリオBは $0 + S_T = S_T$ の価値を持つ。両者は一致する。

$S_T < K$ の場合：コールは無価値のまま満期を迎え、現金は依然として $K$ の価値を持つので、ポートフォリオAは $0 + K = K$ の価値を持つ。プットは行使され $K - S_T$ の価値を持ち、株式は $S_T$ の価値を持つので、ポートフォリオBは $(K - S_T) + S_T = K$ の価値を持つ。両者は再び一致し、今度はどちらも $K$ に等しい。

したがって、あらゆる起こり得る結果においてポートフォリオAとBは時刻 $T$ でちょうど同じ価値を持つ。もし時刻 $t$ での価値が異なれば、裁定取引者は高い方のポートフォリオを売り、安い方を買い、その差額を無リスク金利で運用し、株価がどう動こうと時刻 $T$ に無リスクの利益を得られてしまう。実際の市場はそのような無リスク利益の存続を許さないので、2つのポートフォリオは時刻 $t$ で同じ価格でなければならない：$C + Ke^{-r(T-t)} = P + S$、これを整理すると $C - P = S - Ke^{-r(T-t)}$ となる。