ピタゴラスの定理とその逆

辺の長さが $a+b$ の正方形を作る。その内部に、直角三角形(脚 $a,b$、斜辺 $c$)の合同な4つのコピーを、大きな正方形の各辺に沿って、それぞれ前のものから $90°$ 回転させて配置し、直角が外側を向き、斜辺が中央に傾いた小さな正方形を形成するようにする。

大きな正方形の面積は直接 $(a+b)^2$ と計算できる。また、4つの三角形と内側の正方形の和としても計算できる:各三角形の面積は $\frac{1}{2}ab$ なので4つで $2ab$、内側の正方形は辺 $c$ なので面積は $c^2$。これにより同じ面積が $2ab + c^2$ と表される。

2つの計算を等しいと置くと $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$ となる。両辺から $2ab$ を引くと $a^2 + b^2 = c^2$ が残り、これがまさにピタゴラスの定理である。

逆については、三角形の辺 $a,b,c$ が $c^2 = a^2 + b^2$ を満たすと仮定し、$\gamma$ を辺 $c$ の対角とする。脚がちょうど $a$ と $b$ である2つ目の直角三角形を作り、その斜辺を $c'$ とする。すでに示した順方向の結果から $c'^2 = a^2+b^2 = c^2$ となり、両者とも正の長さなので $c' = c$ である。この2つの三角形は3辺がすべて等しく(最初の三角形では $a,b,c$)、辺々々合同となるため、$\gamma$ は2つ目の三角形の直角に等しくなければならず、すなわち $\gamma = 90°$ である。