タレスの定理とピタゴラスの定理

平行線は頂点から相似な小さい三角形を切り取り、相似な三角形ではすべての長さが同じ倍率で縮尺されるため、2辺は同じ比で分割されなければならない。

まず $DE \parallel BC$ を仮定する。$S_{\triangle BDE}$ と $S_{\triangle CDE}$ を比較すると、両者は共通の底辺 $DE$ を持ち、$DE \parallel BC$ は $B$, $C$ が $DE$ に平行な直線上にあることを意味するので、$B$ から直線 $DE$ までの垂直距離は $C$ から直線 $DE$ までの垂直距離に等しい。底辺と高さがそれぞれ等しいので $S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle CDE}$ が得られる。

次に $S_{\triangle ADE}$ と $S_{\triangle BDE}$ を比較する。頂点を $E$ とみなすと、三角形 $ADE$ は直線 $AB$ 上の底辺 $AD$ を持ち、三角形 $BDE$ は同じ直線上の底辺 $DB$ を持ち、$E$ から直線 $AB$ への同じ高さを共有する。高さが等しい2つの三角形の面積比は底辺の比に等しいので、$S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle BDE}$ $=$ $\frac{AD}{DB}$ となる。同様に頂点を $D$、底辺を直線 $AC$ 上にとると、$S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle CDE}$ $=$ $\frac{AE}{EC}$ となる。

最初の段階から $S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle CDE}$ なので、上の2つの比は書き換えると同じ分母を持ち、$\frac{AD}{DB}$ $=$ $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle CDE}$ $=$ $\frac{AE}{EC}$ となる。これで $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ が示された。

逆については、$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ を仮定する。$DE' \parallel BC$ となる $AC$ 上の点を $E'$ とする。すでに示した順方向の結果から $AD/DB = AE'/E'C$ を得る。仮定 $AE/EC = AD/DB$ と組み合わせると $AE'/E'C = AE/EC$ となり、線分 $AC$ を一定の比で分ける点は一意であるから $E' = E$ である。よって $DE = DE' \parallel BC$ である。

同じ直角三角形を4つ、大きな正方形の中に配置すると、中央に傾いた小さな正方形が残る。大きな正方形の面積を2通りの方法で計算すると、脚の正方形の和と斜辺の正方形が一致することが導かれる。

辺の長さが $a+b$ の正方形を作る。その内部に、直角三角形(脚 $a,b$、斜辺 $c$)の合同な4つのコピーを、大きな正方形の各辺に沿って、それぞれ前のものから $90°$ 回転させて配置し、直角が外側を向き、斜辺が中央に傾いた小さな正方形を形成するようにする。

大きな正方形の面積は直接 $(a+b)^2$ と計算できる。また、4つの三角形と内側の正方形の和としても計算できる:各三角形の面積は $\frac{1}{2}ab$ なので4つで $2ab$、内側の正方形は辺 $c$ なので面積は $c^2$。これにより同じ面積が $2ab + c^2$ と表される。

2つの計算を等しいと置くと $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$ となる。両辺から $2ab$ を引くと $a^2 + b^2 = c^2$ が残り、これがまさにピタゴラスの定理である。

逆については、三角形の辺 $a,b,c$ が $c^2 = a^2 + b^2$ を満たすと仮定し、$\gamma$ を辺 $c$ の対角とする。脚がちょうど $a$ と $b$ である2つ目の直角三角形を作り、その斜辺を $c'$ とする。すでに示した順方向の結果から $c'^2 = a^2+b^2 = c^2$ となり、両者とも正の長さなので $c' = c$ である。この2つの三角形は3辺がすべて等しく(最初の三角形では $a,b,c$)、辺々々合同となるため、$\gamma$ は2つ目の三角形の直角に等しくなければならず、すなわち $\gamma = 90°$ である。