超限帰納法の原理

背理法で、$C$ がすべての順序数を含まないと仮定する。すると $C$ に属さない順序数からなる類 $D$ は空でない。順序数自身は整列している(順序数からなる空でない類は必ず最小元を持つ——これは順序数の定義的性質である)ので、$D$ には最小元が存在する。それを $\alpha$ とする。

$\alpha$ の最小性により、$\beta<\alpha$ を満たす順序数はすべて $D$ に属さない、すなわちすべての $\beta<\alpha$ について $\beta \in C$ が成り立つ。

しかしこれはまさに定理の仮定を $\alpha$ に適用したものである:「すべての $\beta<\alpha$ で $\beta \in C$」ならば $\alpha \in C$。したがって $\alpha \in C$。

これは $\alpha \in D$(すなわち $\alpha \notin C$)と矛盾する。この矛盾により、そのような最小の反例 $\alpha$ は存在し得ないので $D=\emptyset$:$C$ はすべての順序数を含む。$\blacksquare$