分数の相等性に対するクロス乗算判定

方向1（$\Rightarrow$）。$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ と仮定する。$b,d\neq0$ なので、両辺に ゼロでない数 $bd$ を掛けられる:$\frac{a}{b}\cdot bd = \frac{c}{d}\cdot bd$。左辺は因数 $b$ が消えて $\frac{a}{b}\cdot bd = a\cdot d$、右辺は因数 $d$ が消えて $\frac{c}{d}\cdot bd = c\cdot b$ となる。よって $ad=bc$。

方向2（$\Leftarrow$）。$ad=bc$ と仮定する。両辺を ゼロでない数 $bd$ で割る:$\dfrac{ad}{bd}=\dfrac{bc}{bd}$。左の分数の共通因数 $d$ と右の分数の共通因数 $b$ を約分すると:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$。

両方向が成り立つので、二つの命題は同値である:$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ であることと $ad=bc$ であることは一致する。