対数の積法則

$u=\log_a x$、$v=\log_a y$ とする。対数の定義(指数関数の逆関数である)により、これはちょうど $a^u=x$ と $a^v=y$ を意味する。

この2つの式を掛け合わせる: $xy = a^u \cdot a^v$。指数法則 $a^{u+v}=a^u\cdot a^v$ により右辺は $a^{u+v}$ に等しく、$xy=a^{u+v}$ となる。

再び対数の定義により、$xy=a^{u+v}$ はちょうど $\log_a(xy)=u+v$ を意味する——ただしこれは、与えられた出力を生む指数が一意であること、すなわち $a>0,a\ne 1$ のとき $a^u=a^v \Rightarrow u=v$ であることを用いている(指数関数は $a>1$ のとき狭義増加、$0<a<1$ のとき狭義減少であるため、異なる2つの指数に対して同じ出力を決して与えない)。

$u=\log_a x$、$v=\log_a y$ を戻すと $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$、すなわち $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ が得られる。