定理証明済み

階数・退化次数の定理

内容

$T: V \to W$ が有限次元ベクトル空間の間の線形写像であるとき、 $\dim(\ker T) + \dim(\operatorname{im} T) = \dim V$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

入力空間 $V$ の各次元は $T$ のもとで必ずどこかへ行き着く:ゼロに潰されるか(核に寄与する)、生き残って像の中で新たな方向として現れるかのどちらかである。これが唯一の二つの運命であり互いに重ならないため、両方の結果の次元は出発点の次元にちょうど足し戻らなければならない。

証明の概略

$\ker T$ の基底 $v_1,\dots,v_k$ を選び、それを $V$ の基底 $v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n$ に拡張する。 $T(v_{k+1}),\dots,T(v_n)$ が $\operatorname{im} T$ の基底をなすことを示す: $T(v_1),\dots,T(v_k)$ がゼロであるため、これらは $\operatorname{im}T$ を張り、またそれらの間に何らかの一次従属関係があれば $v_1,\dots,v_k$ の張る空間の外にある $\ker T$ の非零元を含む $V$ 内の従属関係に引き戻され矛盾するため、一次独立でもある。ゆえに $\dim(\operatorname{im}T)=n-k$ 。

この定理を使うトピック

ベクトル空間

参考文献

Sheldon Axler (2015). Linear Algebra Done Right