ケイリー・ハミルトンの定理

内容

任意の正方行列 $A$ はそれ自身の特性多項式を満たす:$p(\lambda)=\det(\lambda I - A)$ とすると $p(A) = 0$(零行列)である。

なぜ正しいのか?

特性多項式 $p(\lambda)$ は、$\lambda$ が $A$ の固有値であるときに $p(\lambda)=0$ となるようにまさに構成されている。$\lambda$ の代わりに行列 $A$ そのものを代入するのは大きな飛躍に見えるが、これがうまくいくのは、$A$ が各固有ベクトルに対してスカラーの固有値とまったく同じように作用し、(対角化可能な場合)固有ベクトルが空間全体を張るからである——したがって $p(A)$ はあらゆる方向を消し去り、$p(A)$ は零行列となる。

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