古典的ルンゲ・クッタ法の精度の次数

各段を$(t_n, y_n)$のまわりでテイラー級数展開する。$k_1=f(t_n,y_n)=y'(t_n)$であり,$k_2, k_3$は前の段の方向に半ステップずらした$y_n$を用いて$f$を中点で評価するので,$y'=f$、$y''=f_t+f_yf$、$y'''=f_{tt}+2f_{ty}f+f_{yy}f^2+f_y(f_t+f_yf)$の連鎖律を各$k_i$に代入すると,各段が捉えられる次数まで$y'(t_n), y''(t_n), y'''(t_n)$に一致する$h$の4つの多項式が得られる。

重み付き結合$\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$を作り$h$を掛けると,この和における$h^1, h^2, h^3$と$h^4$の係数は,テイラー展開$y(t_n+h) = y(t_n) + hy'(t_n) + \frac{h^2}{2}y''(t_n) + \frac{h^3}{6}y'''(t_n) + \frac{h^4}{24}y^{(4)}(t_n) + \cdots$の$h^4$の項までの係数とちょうど一致する——これはまさに,RK4表の係数$c=(0,\frac12,\frac12,1)$と$b=(\frac16,\frac13,\frac13,\frac16)$が満たすように選ばれた古典的な次数条件そのものである。

2つの級数が$h^4$まで一致するので,両者が異なりうる最初の項は$O(h^5)$の項であり,したがって局所打ち切り誤差は1ステップあたり$O(h^5)$である。オイラーの場合と同様に,固定時刻に到達するために必要な$n\approx (T-t_0)/h$ステップにわたってこれらの局所誤差を$f$のリプシッツ条件を用いて積み重ねると,$h$のべきがちょうど1つ失われ,大域誤差は$O(h^4)$となる。