MathLabs
定理証明済み

ロバートソン・ハイゼンベルクの不確定性原理

内容

H\mathcal H 上の任意の自己共役演算子 A^=A^∗\hat A=\hat A^*、B^=B^∗\hat B=\hat B^* と、A^B^\hat A\hat B および B^A^\hat B\hat A の定義域に属する任意の単位ベクトル ψ\psi に対して、標準偏差 σA=⟨ψ∣(A^−⟨A^⟩)2∣ψ⟩\sigma_A=\sqrt{\langle\psi|(\hat A-\langle\hat A\rangle)^2|\psi\rangle} と σB\sigma_B（期待値は状態 ψ\psi で取る）は σAσB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\sigma_A \sigma_B \ge \tfrac{1}{2}\left|\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle\right| を満たす。ここで [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A である。

なぜ正しいのか?

2つの観測量が同時に完全な精度で測定できるのは、それらの演算子が交換する場合に限られる。交換子の大きさはその両立不可能性を直接測る量である。コーシー・シュワルツの不等式は「この2つのベクトルが同時に短くはなり得ない」という直観を厳密な数値的下限に変え、内積を実部と虚部に分けることこそが、交換子（真に量子的な部分）を反交換子（古典的に見える相関項）から切り分ける操作となる。

証明の概略

ステップ1（中心化された演算子）。 ΔA^=A^−⟨A^⟩I\Delta\hat A=\hat A-\langle\hat A\rangle I、ΔB^=B^−⟨B^⟩I\Delta\hat B=\hat B-\langle\hat B\rangle I とおく。⟨A^⟩,⟨B^⟩\langle\hat A\rangle,\langle\hat B\rangle は実数のスカラーなので、これらも自己共役である。定義より σA2=⟨ψ∣ΔA^2∣ψ⟩=∥ΔA^ ψ∥2\sigma_A^2=\langle\psi|\Delta\hat A^2|\psi\rangle=\|\Delta\hat A\,\psi\|^2、同様に σB2=∥ΔB^ ψ∥2\sigma_B^2=\|\Delta\hat B\,\psi\|^2 となる。

ステップ2（コーシー・シュワルツ）。 f=ΔA^ ψf=\Delta\hat A\,\psi、g=ΔB^ ψg=\Delta\hat B\,\psi にコーシー・シュワルツの不等式 ∣⟨f∣g⟩∣2≤⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩|\langle f|g\rangle|^2\le\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle を適用すると、∣⟨ΔA^ ψ∣ΔB^ ψ⟩∣2≤σA2 σB2.|\langle\Delta\hat A\,\psi|\Delta\hat B\,\psi\rangle|^2 \le \sigma_A^2\,\sigma_B^2.

ステップ3（実部と虚部に分ける）。 ⟨ΔA^ ψ∣ΔB^ ψ⟩=⟨ψ∣ΔA^ΔB^∣ψ⟩\langle\Delta\hat A\,\psi|\Delta\hat B\,\psi\rangle=\langle\psi|\Delta\hat A\Delta\hat B|\psi\rangle と書く。ΔA^,ΔB^\Delta\hat A,\Delta\hat B が自己共役であることから、複素共役を取ると演算子の順序が入れ替わる：⟨ΔA^ΔB^⟩∗=⟨ΔB^ΔA^⟩\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle^*=\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle。したがって反交換子の期待値 ⟨{ΔA^,ΔB^}⟩=⟨ΔA^ΔB^⟩+⟨ΔB^ΔA^⟩=2 Re⟨ΔA^ΔB^⟩\langle\{\Delta\hat A,\Delta\hat B\}\rangle=\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle+\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle=2\,\mathrm{Re}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle は実数であり、交換子の期待値 ⟨[ΔA^,ΔB^]⟩=⟨ΔA^ΔB^⟩−⟨ΔB^ΔA^⟩=2i Im⟨ΔA^ΔB^⟩\langle[\Delta\hat A,\Delta\hat B]\rangle=\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle-\langle\Delta\hat B\Delta\hat A\rangle=2i\,\mathrm{Im}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle は純虚数である。また、定数シフトは交換子の中で相殺するので [ΔA^,ΔB^]=[A^,B^][\Delta\hat A,\Delta\hat B]=[\hat A,\hat B] となる。

ステップ4（まとめる）。 実部・虚部にピタゴラスの定理を適用すると、∣⟨ΔA^ΔB^⟩∣2=(Re⟨ΔA^ΔB^⟩)2+(Im⟨ΔA^ΔB^⟩)2=14∣⟨{ΔA^,ΔB^}⟩∣2+14∣⟨[A^,B^]⟩∣2≥14∣⟨[A^,B^]⟩∣2,|\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle|^2=\big(\mathrm{Re}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle\big)^2+\big(\mathrm{Im}\langle\Delta\hat A\Delta\hat B\rangle\big)^2=\tfrac14|\langle\{\Delta\hat A,\Delta\hat B\}\rangle|^2+\tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2 \ge \tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2, となり、明らかに非負である反交換子項を落とした。ステップ2と合わせて σA2σB2≥14∣⟨[A^,B^]⟩∣2\sigma_A^2\sigma_B^2\ge\tfrac14|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|^2 を得て、両辺（ともに非負）の平方根を取れば σAσB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\sigma_A \sigma_B \ge \tfrac{1}{2}\left|\langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle\right| が得られる。

この定理を使うトピック

量子力学の数学的基礎

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。

参考文献

  1. John von Neumann (1955). Mathematical Foundations of Quantum Mechanics
  2. Howard P. Robertson (1929). The Uncertainty Principle · DOI:10.1103/PhysRev.34.163
  3. Marshall H. Stone (1932). On One-Parameter Unitary Groups in Hilbert Space · DOI:10.2307/1968538