ザイフェルト・ファン・カンペンの定理

完全な証明には注意深い組合せ的な記録が必要である。ここでは構造的な概略を示す。ステップ1 — 生成元。基点 $x_0$ を持つ $X$ の任意のループ $\gamma$ は、有限個の部分道に分割でき、それぞれが完全に $U$ 内、または完全に $V$ 内にある(コンパクト区間 $[0,1]$ の開被覆 $\{\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)\}$ に対するルベーグ数の議論を用いる)。よって $[\gamma]$ は、$\pi_1(U,x_0)$ または $\pi_1(V,x_0)$ の元を表すループの積として書ける(部分道の端点を、弧状連結な $U \cap V$ 内で選んだ道を通じて $x_0$ に戻す接続を行った後)。これにより $\pi_1(X,x_0)$ が $\pi_1(U,x_0)$ と $\pi_1(V,x_0)$ の像によって生成されることが示される。

ステップ2 — 関係式。$U \cap V$ 内にあるループ $\delta$ は、先験的には2つの異なりうる元を表す:$i_U(\delta) \in \pi_1(U,x_0)$($\delta$ を $U$ 内のループとみなす)と $i_V(\delta) \in \pi_1(V,x_0)$($V$ 内のループとみなす)である。$\delta$ は $X$ において文字通り同じループなので、$\pi_1(U) \to \pi_1(X)$ と $\pi_1(V) \to \pi_1(X)$ による像は一致しなければならない。これがまさに、すべての $[\delta] \in \pi_1(U \cap V, x_0)$ について融合関係式 $i_U(\delta) = i_V(\delta)$ を強制する。

ステップ3 — それ以上の関係式はない。より繊細な議論(ホモトピー $H: [0,1]\times[0,1] \to X$ を同じ方法で分割し、正方形のコンパクト性を用いて各セルが $U$ または $V$ に収まる有限格子を得る)により、これらの融合関係式が必要な唯一の関係式であることが示される:生成元の言葉で $\pi_1(X,x_0)$ の同じ元を表す任意の2つの語は、それぞれ融合関係式によって正当化される有限回の操作の列で関係づけられる。これにより $\pi_1(X,x_0)$ は融合自由積とちょうど一致することが確認される。