二つの立方の和と差

ステップ1(右辺の展開による代数的証明)。$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$ を展開する。中間の項 $a^2b$ と $-a^2b$ が打ち消し合い、$ab^2$ と $-ab^2$ も同様に打ち消し合って、ちょうど $a^3-b^3$ が残る。

ステップ2(体積による幾何学的証明)。一辺 $a$ の立方体(体積 $a^3$)を取り、ある角から一辺 $b$ の小さな立方体(体積 $b^3$)を取り除く。残った立体の体積は $a^3-b^3$ である。この残った立体は、それぞれ厚さ $a-b$ の三枚の直方体に切り分けられる:板 $a\times a\times(a-b)$、板 $a\times b\times(a-b)$、板 $b\times b\times(a-b)$ である。それらの体積の和は $(a-b)a^2+(a-b)ab+(a-b)b^2=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ となり、残った体積とちょうど一致する。

ステップ3(立方の和版、置き換えによる)。立方の差の恒等式で $b$ を $-b$ に置き換えると $a^3-(-b)^3=(a-(-b))(a^2+a(-b)+(-b)^2)$ となり、整理すると $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ が得られる。