代数式と恒等式

$(a+b)^2$ を通常の掛け算として展開することで、$(a+b)^2=a^2+b^2$ と書いてしまうよくある誤りを防げる。この恒等式によって、欠けがちな交差項 $2ab$ を忘れることがなくなる。

ステップ1(展開による代数的証明)。分配法則を二回使うと、$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$ となる。これは $a\cdot b$ と $b\cdot a$ が同じ積を二回数えたものだからである。

ステップ2(面積による幾何学的証明)。一辺の長さが $a+b$ の正方形を描く。ある角から距離 $a$ の位置に水平線と垂直線を一本ずつ引いて切る。これにより大きな正方形は四つの部分に分かれる。一辺 $a$ の正方形(面積 $a^2$)、一辺 $b$ の正方形(面積 $b^2$)、そして寸法 $a\times b$ の長方形二つ(それぞれ面積 $ab$)である。四つの面積を足すと $a^2+2ab+b^2$ となり、この四つの部分がちょうど元の正方形を敷き詰めるので、この和は $(a+b)^2$ に等しくなければならない。

ステップ3(差の平方版、置き換えによる)。最初の恒等式で $b$ を $-b$ に置き換えると $(a-b)^2=(a+(-b))^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=a^2-2ab+b^2$ となり、別の幾何的な図さえ必要ない——代数だけで結果が自動的に移される。

二つの平方の差とは異なり、立方の差や和は一次式の因数だけでは分解できない。二次の因数 $a^2\pm ab+b^2$ は避けられず、このパターンを認識することで、生徒は一見因数分解できないように見える式を因数分解できるようになる。

ステップ1(右辺の展開による代数的証明)。$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$ を展開する。中間の項 $a^2b$ と $-a^2b$ が打ち消し合い、$ab^2$ と $-ab^2$ も同様に打ち消し合って、ちょうど $a^3-b^3$ が残る。

ステップ2(体積による幾何学的証明)。一辺 $a$ の立方体(体積 $a^3$)を取り、ある角から一辺 $b$ の小さな立方体(体積 $b^3$)を取り除く。残った立体の体積は $a^3-b^3$ である。この残った立体は、それぞれ厚さ $a-b$ の三枚の直方体に切り分けられる:板 $a\times a\times(a-b)$、板 $a\times b\times(a-b)$、板 $b\times b\times(a-b)$ である。それらの体積の和は $(a-b)a^2+(a-b)ab+(a-b)b^2=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ となり、残った体積とちょうど一致する。

ステップ3(立方の和版、置き換えによる)。立方の差の恒等式で $b$ を $-b$ に置き換えると $a^3-(-b)^3=(a-(-b))(a^2+a(-b)+(-b)^2)$ となり、整理すると $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ が得られる。