平均からの偏差の和はゼロになる

和を分配して展開する:$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}\bar x$。第二の和は定数 $\bar x$ を $n$ 回足し合わせるので $\sum_{i=1}^{n}\bar x = n\bar x$ となる。

定義により $\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$ であるから、両辺に $n$ を掛けると $n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i$ が得られる。これは上の展開における最初の和とまったく同じ量である。

これを代入し直すと、$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x) = \sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar x = \sum_{i=1}^{n}x_i - \sum_{i=1}^{n}x_i = 0$ となり、主張が証明される。