角の二等分線定理

ステップ1（頂点 $A$ からの共通の高さを用いて面積を比較する）。三角形 $\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ は頂点 $A$ から直線 $BC$ への高さを共有するので、その面積の比は $BC$ 上の底辺の比に等しい：$\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{BD}{DC}$。

ステップ2（$AB$ と $AC$ を底辺として同じ二つの面積を比較する）。$D$ は角 $A$ の二等分線上にあるので、$D$ から角の二辺への垂線の長さは等しい：$d(D, AB) = d(D, AC)$。$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ の底辺として $AB$ と $AC$ をとれば、この等しい二つの垂線がそれぞれの高さになるから、面積の比はこれら底辺の比にも等しい：$\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{AB}{AC}$。

ステップ3（二つの式を等置する）。両方の右辺が同じ面積比に等しいので、ステップ1とステップ2を等置すれば直ちに $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ が得られ、証明が完了する。