三角形とその特別な線

これは角に関する情報（$AD$ が角 $A$ を二等分すること）を対辺上の長さの比へと直接変換し、$\triangle ABC$ の三辺の長さだけから二等分線の足の位置を求められるようにする。

ステップ1（頂点 $A$ からの共通の高さを用いて面積を比較する）。三角形 $\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ は頂点 $A$ から直線 $BC$ への高さを共有するので、その面積の比は $BC$ 上の底辺の比に等しい：$\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{BD}{DC}$。

ステップ2（$AB$ と $AC$ を底辺として同じ二つの面積を比較する）。$D$ は角 $A$ の二等分線上にあるので、$D$ から角の二辺への垂線の長さは等しい：$d(D, AB) = d(D, AC)$。$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ の底辺として $AB$ と $AC$ をとれば、この等しい二つの垂線がそれぞれの高さになるから、面積の比はこれら底辺の比にも等しい：$\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{AB}{AC}$。

ステップ3（二つの式を等置する）。両方の右辺が同じ面積比に等しいので、ステップ1とステップ2を等置すれば直ちに $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ が得られ、証明が完了する。

平面上の勝手な三本の直線が同じ点を通ることはめったになく、普通は小さな三角形を作る。$AM$ を頂点から $\dfrac{2}{3}$ だけ進んだ点の公式が $A$、$B$、$C$ について完全に対称になることを見れば、三本の中線がなぜまったく同じ点を通らなければならないのかが一目で分かる。

ステップ1（中点の座標）。$\triangle ABC$ を頂点 $A$、$B$、$C$ とともに座標平面に置く。辺 $BC$ の中点 $M$ は $B$ と $C$ の平均である：$M = \left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\, \dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$。

ステップ2（$AM$ を三分の二進んだ点）。$A$ から $M$ に向かって線分 $AM$ の $\dfrac{2}{3}$ だけ進むと、得られる点は $A + \dfrac{2}{3}(M - A) = \dfrac{1}{3}A + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{B+C}{2} = \dfrac{A+B+C}{3}$ となり、座標 $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ を与える。

ステップ3（対称性により共点となる）。最終公式 $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ が $A$、$B$、$C$ について完全に対称であることに注目しよう——$A$ と $B$ の役割を入れ替えても（中線 $BN$ 上の $\dfrac{2}{3}$ の点を求めても）、$A$ と $C$ を入れ替えても（$CP$ 上でも）、まったく同じ点 $G$ が得られる。したがって三本の中線はすべて $G$ を通り、$G$ は各頂点から対辺の中点まで $\dfrac{2}{3}$ の位置にある（$AG = \dfrac{2}{3} AM$）。