三本の中線は重心で交わる

ステップ1（中点の座標）。$\triangle ABC$ を頂点 $A$、$B$、$C$ とともに座標平面に置く。辺 $BC$ の中点 $M$ は $B$ と $C$ の平均である：$M = \left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\, \dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$。

ステップ2（$AM$ を三分の二進んだ点）。$A$ から $M$ に向かって線分 $AM$ の $\dfrac{2}{3}$ だけ進むと、得られる点は $A + \dfrac{2}{3}(M - A) = \dfrac{1}{3}A + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{B+C}{2} = \dfrac{A+B+C}{3}$ となり、座標 $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ を与える。

ステップ3（対称性により共点となる）。最終公式 $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ が $A$、$B$、$C$ について完全に対称であることに注目しよう——$A$ と $B$ の役割を入れ替えても（中線 $BN$ 上の $\dfrac{2}{3}$ の点を求めても）、$A$ と $C$ を入れ替えても（$CP$ 上でも）、まったく同じ点 $G$ が得られる。したがって三本の中線はすべて $G$ を通り、$G$ は各頂点から対辺の中点まで $\dfrac{2}{3}$ の位置にある（$AG = \dfrac{2}{3} AM$）。