タレスの比例線分定理

まず $DE \parallel BC$ を仮定する。$S_{\triangle BDE}$ と $S_{\triangle CDE}$ を比較すると、両者は共通の底辺 $DE$ を持ち、$DE \parallel BC$ は $B$, $C$ が $DE$ に平行な直線上にあることを意味するので、$B$ から直線 $DE$ までの垂直距離は $C$ から直線 $DE$ までの垂直距離に等しい。底辺と高さがそれぞれ等しいので $S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle CDE}$ が得られる。

次に $S_{\triangle ADE}$ と $S_{\triangle BDE}$ を比較する。頂点を $E$ とみなすと、三角形 $ADE$ は直線 $AB$ 上の底辺 $AD$ を持ち、三角形 $BDE$ は同じ直線上の底辺 $DB$ を持ち、$E$ から直線 $AB$ への同じ高さを共有する。高さが等しい2つの三角形の面積比は底辺の比に等しいので、$S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle BDE}$ $=$ $\frac{AD}{DB}$ となる。同様に頂点を $D$、底辺を直線 $AC$ 上にとると、$S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle CDE}$ $=$ $\frac{AE}{EC}$ となる。

最初の段階から $S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle CDE}$ なので、上の2つの比は書き換えると同じ分母を持ち、$\frac{AD}{DB}$ $=$ $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle BDE}$ $=$ $S_{\triangle ADE}$$/$$S_{\triangle CDE}$ $=$ $\frac{AE}{EC}$ となる。これで $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ が示された。

逆については、$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ を仮定する。$DE' \parallel BC$ となる $AC$ 上の点を $E'$ とする。すでに示した順方向の結果から $AD/DB = AE'/E'C$ を得る。仮定 $AE/EC = AD/DB$ と組み合わせると $AE'/E'C = AE/EC$ となり、線分 $AC$ を一定の比で分ける点は一意であるから $E' = E$ である。よって $DE = DE' \parallel BC$ である。