角錐の体積定理

ステップ1(三角形の場合、分割による証明)。底面積 $B$、高さ $h$ の三角柱 $ABC.A_1B_1C_1$ をとると、角柱の体積定理よりその体積は $V = Bh$ である。これを二つの対角平面 $(A_1BC)$ と $(A_1BC_1)$ で三つの四面体 $A_1.ABC$、$A_1.BCC_1$、$A_1.BB_1C_1$ に切り分ける。簡単な計算により、これら三つの四面体の体積が等しいことが分かる:$A_1.BCC_1$ と $A_1.BB_1C_1$ は頂点 $A_1$ を共有し、底面 $BCC_1$ と $BB_1C_1$ は合同な三角形(同じ平行四辺形 $BCC_1B_1$ の半分)であるため体積が等しく、また $A_1.ABC$ と $A_1.BCC_1$ を比較しても(頂点 $B$ を持つ角錐とみなすか、角柱に沿った合同な底面の議論により)三つとも等しいことが示される。したがって各四面体の体積は $\frac{1}{3} \cdot V_{\text{prism}} = \frac{1}{3}Bh$ である。$A_1.ABC$ は底面 $ABC$(面積 $B$)、頂点 $A_1$ がその上方 $h$ にある三角錐なので、これにより三角錐に対する $V = \frac{1}{3}Bh$ が証明された。

ステップ2(底面の形状に関するカヴァリエリの原理)。次に、三角錐と別の任意の底面を持つ角錐を比較する。両方とも底面積 $B$、高さ $h$ で、頂点の高さを揃える。底面から高さ $y$$(0 \le y \le h)$の位置で底面に平行な平面で切ると、角錐の断面は底面を係数 $\left(\frac{h-y}{h}\right)$ で縮小した相似図形になる——これは頂点からの中心投影に関する標準的な相似の事実である。平面図形を線形係数 $k$ で縮小すると面積は $k^2$ 倍になるので、底面積 $B$、高さ $h$ を持つどの角錐でも、底面の形状によらず高さ $y$ での断面積は $B\left(\frac{h-y}{h}\right)^2$ となる。

比較する二つの角錐はすべての高さで断面積が完全に一致するので、カヴァリエリの原理により体積も等しい。ステップ1で三角錐に対して $V = \frac{1}{3}Bh$ が示されたので、同じ公式 $V = \frac{1}{3}Bh$ が、底面積 $B$、高さ $h$ を持つ任意の多角形底面の角錐についても成り立つ。