多面体とその体積

同じトランプを積んだ山は、まっすぐ積んでも斜めに押して傾けても体積は変わらない——繰り返されるのは山の断面であって輪郭ではないからである。角柱とは、まさに底面の無限に薄いコピーをそのように積み重ねたものである。

まず、側稜が底面に垂直な直角柱を考える。底面に平行な平面で任意の高さで切ると、その断面は底面そのものと合同(面積 $B$)になる。これらの断面を高さ $0$ から $h$ まで積み重ねると体積 $\int_0^h B\,dy = Bh$ が得られ、これはまさに直角柱に対する $V = Bh$ である。

次に、同じ底面積 $B$ と同じ高さ $h$ を持つ任意の斜角柱を考える。それを、同じ底面と高さを持つ直角柱と、一方の底面を共有するように並べる。高さ $y$ における斜角柱の断面は底面を平行移動したもの(平行移動では面積は変わらない)なので、面積は $B$ であり、その高さにおける直角柱の断面積とちょうど一致する。

カヴァリエリの原理により、二つの立体はすべての高さ $y \in [0, h]$ で断面積 $B$ が等しいので、体積も等しい。直角柱の体積が $V = Bh$ であることから、斜角柱の体積も同じであり、これですべての角柱に対する公式が証明された。

角錐は先端の一点に向かって細くなるため、その断面のほとんどは底面よりずっと小さい。係数1/3はその先細りがもたらす正確な代償であり、すでによく理解している三角柱を体積の等しい三つの角錐に切り分けることで厳密に確定できる。

ステップ1(三角形の場合、分割による証明)。底面積 $B$、高さ $h$ の三角柱 $ABC.A_1B_1C_1$ をとると、角柱の体積定理よりその体積は $V = Bh$ である。これを二つの対角平面 $(A_1BC)$ と $(A_1BC_1)$ で三つの四面体 $A_1.ABC$、$A_1.BCC_1$、$A_1.BB_1C_1$ に切り分ける。簡単な計算により、これら三つの四面体の体積が等しいことが分かる:$A_1.BCC_1$ と $A_1.BB_1C_1$ は頂点 $A_1$ を共有し、底面 $BCC_1$ と $BB_1C_1$ は合同な三角形(同じ平行四辺形 $BCC_1B_1$ の半分)であるため体積が等しく、また $A_1.ABC$ と $A_1.BCC_1$ を比較しても(頂点 $B$ を持つ角錐とみなすか、角柱に沿った合同な底面の議論により)三つとも等しいことが示される。したがって各四面体の体積は $\frac{1}{3} \cdot V_{\text{prism}} = \frac{1}{3}Bh$ である。$A_1.ABC$ は底面 $ABC$(面積 $B$)、頂点 $A_1$ がその上方 $h$ にある三角錐なので、これにより三角錐に対する $V = \frac{1}{3}Bh$ が証明された。

ステップ2(底面の形状に関するカヴァリエリの原理)。次に、三角錐と別の任意の底面を持つ角錐を比較する。両方とも底面積 $B$、高さ $h$ で、頂点の高さを揃える。底面から高さ $y$$(0 \le y \le h)$の位置で底面に平行な平面で切ると、角錐の断面は底面を係数 $\left(\frac{h-y}{h}\right)$ で縮小した相似図形になる——これは頂点からの中心投影に関する標準的な相似の事実である。平面図形を線形係数 $k$ で縮小すると面積は $k^2$ 倍になるので、底面積 $B$、高さ $h$ を持つどの角錐でも、底面の形状によらず高さ $y$ での断面積は $B\left(\frac{h-y}{h}\right)^2$ となる。

比較する二つの角錐はすべての高さで断面積が完全に一致するので、カヴァリエリの原理により体積も等しい。ステップ1で三角錐に対して $V = \frac{1}{3}Bh$ が示されたので、同じ公式 $V = \frac{1}{3}Bh$ が、底面積 $B$、高さ $h$ を持つ任意の多角形底面の角錐についても成り立つ。

頂点から出る三つの点をそれぞれの辺に沿って独立に動かすことは、三つの異なる方向にピラミッドを独立に伸縮させることに相当する。したがって体積は、三つの独立な伸縮率の積に比例して変化するはずである。ちょうど直方体の三辺を独立に伸縮させると、その体積が三つの伸縮率の積倍になるのと同じである。

頂点 $S$ を原点とし、$\vec{u} = \overrightarrow{SA}$、$\vec{v} = \overrightarrow{SB}$、$\vec{w} = \overrightarrow{SC}$ とする。共通の頂点から出る三つの辺ベクトルが張る四面体の体積はスカラー三重積により $V_{S.ABC} = \frac{1}{6}\left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right|$ で与えられる。

$A' \in SA$、$B' \in SB$、$C' \in SC$ なので、$\overrightarrow{SA'} = k_1\vec{u}$、$\overrightarrow{SB'} = k_2\vec{v}$、$\overrightarrow{SC'} = k_3\vec{w}$(ここで $k_1 = \frac{SA'}{SA}$、$k_2 = \frac{SB'}{SB}$、$k_3 = \frac{SC'}{SC}$)と書ける。このとき $V_{S.A'B'C'} = \frac{1}{6}\left|(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big)\right|$ である。

スカラー三重積は三重線形(三つのベクトル引数それぞれについて線形)なので、$(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big) = k_1 k_2 k_3 \left(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right)$ となる。両辺の絶対値をとり6で割ると $V_{S.A'B'C'} = k_1k_2k_3 \cdot V_{S.ABC}$ が得られ、これはまさに $\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA}\cdot\dfrac{SB'}{SB}\cdot\dfrac{SC'}{SC}$ に書き直せる。