回転体の体積（円板法）

$[a,b]$ を幅 $\Delta x=(b-a)/n$ の $n$ 個の小区間に分割し、標本点 $x_i^*$ を取る。$[x_{i-1},x_i]$ に制限された立体は、半径 $f(x_i^*)$、厚さ $\Delta x$ の円柱状の円板にほぼ等しいので、その体積はおよそ $\pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$ である。

これらの円板の体積をすべての $n$ 個の小区間について足し合わせると、リーマン和 $\sum_{i=1}^n \pi[f(x_i^*)]^2\,\Delta x$ が得られ、これは真の体積 $V$ を近似する。

$n\to\infty$ のとき、$f$ が $[a,b]$ 上で連続であることから近似の誤差は消え、$x\mapsto \pi[f(x)]^2$ 自体も連続なので、リーマン和は定義により $\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$ に収束する。よって $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$ である。

整合性の確認として、$[0,h]$ 上で $f(x)=\dfrac{r}{h}x$ を取ると、これを $x$ 軸のまわりに回転させたものはちょうど底面半径 $r$、高さ $h$ の円錐になる:$V=\pi\int_0^h \left(\dfrac{r}{h}x\right)^2 dx = \pi\dfrac{r^2}{h^2}\cdot\dfrac{h^3}{3} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ となり、まさに古典的な円錐の体積公式と一致する。