角柱の体積定理

まず、側稜が底面に垂直な直角柱を考える。底面に平行な平面で任意の高さで切ると、その断面は底面そのものと合同(面積 $B$)になる。これらの断面を高さ $0$ から $h$ まで積み重ねると体積 $\int_0^h B\,dy = Bh$ が得られ、これはまさに直角柱に対する $V = Bh$ である。

次に、同じ底面積 $B$ と同じ高さ $h$ を持つ任意の斜角柱を考える。それを、同じ底面と高さを持つ直角柱と、一方の底面を共有するように並べる。高さ $y$ における斜角柱の断面は底面を平行移動したもの(平行移動では面積は変わらない)なので、面積は $B$ であり、その高さにおける直角柱の断面積とちょうど一致する。

カヴァリエリの原理により、二つの立体はすべての高さ $y \in [0, h]$ で断面積 $B$ が等しいので、体積も等しい。直角柱の体積が $V = Bh$ であることから、斜角柱の体積も同じであり、これですべての角柱に対する公式が証明された。