相似変換における距離と面積の倍率

相似変換の定義より、$\overrightarrow{IA'} = k\,\overrightarrow{IA}$ および $\overrightarrow{IB'} = k\,\overrightarrow{IB}$ である。1番目のベクトル方程式から2番目を引くと $\overrightarrow{IA'} - \overrightarrow{IB'} = k(\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB})$ が得られる。

両辺にベクトルの差の規則 $\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{BA}$ を適用すると、$\overrightarrow{B'A'} = k\,\overrightarrow{BA}$ を得る。両ベクトルの長さをとれば直ちに $A'B' = |\overrightarrow{B'A'}| = |k| \cdot |\overrightarrow{BA}| = |k| \cdot AB$ となる。

次に任意の三角形 $ABC$ を考える。$C$ から直線 $AB$ への高さ $h$ は、$C$ とその $AB$ 上への正射影 $H$ との距離である。相似変換は平行性と角度を保つため垂直性も保ち、したがって $H' = V_{(I,k)}(H)$ は $A'B'C'$ の垂線の足となる。よって底辺 $A'B' = |k|\cdot AB$ と高さ $C'H' = |k|\cdot CH$ はともに $|k|$ 倍となり、$[A'B'C'] = \tfrac{1}{2} A'B' \cdot C'H' = |k|^2 \cdot \tfrac{1}{2} AB \cdot CH = k^2 \cdot [ABC]$ が得られる。