頂点を共有する三角錐の体積比の定理

頂点 $S$ を原点とし、$\vec{u} = \overrightarrow{SA}$、$\vec{v} = \overrightarrow{SB}$、$\vec{w} = \overrightarrow{SC}$ とする。共通の頂点から出る三つの辺ベクトルが張る四面体の体積はスカラー三重積により $V_{S.ABC} = \frac{1}{6}\left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right|$ で与えられる。

$A' \in SA$、$B' \in SB$、$C' \in SC$ なので、$\overrightarrow{SA'} = k_1\vec{u}$、$\overrightarrow{SB'} = k_2\vec{v}$、$\overrightarrow{SC'} = k_3\vec{w}$(ここで $k_1 = \frac{SA'}{SA}$、$k_2 = \frac{SB'}{SB}$、$k_3 = \frac{SC'}{SC}$)と書ける。このとき $V_{S.A'B'C'} = \frac{1}{6}\left|(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big)\right|$ である。

スカラー三重積は三重線形(三つのベクトル引数それぞれについて線形)なので、$(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big) = k_1 k_2 k_3 \left(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right)$ となる。両辺の絶対値をとり6で割ると $V_{S.A'B'C'} = k_1k_2k_3 \cdot V_{S.ABC}$ が得られ、これはまさに $\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA}\cdot\dfrac{SB'}{SB}\cdot\dfrac{SC'}{SC}$ に書き直せる。