累次積分のためのフビニの定理

$[a,b]$ を幅 $\Delta x$ の $m$ 個の小区間 $[x_{i-1}, x_i]$ に、$[c,d]$ を幅 $\Delta y$ の $n$ 個の小区間 $[y_{j-1}, y_j]$ に分割する。各 $x$ を固定するごとに断面積分 $A(x) = \int_c^d f(x,y)\,dy$ を定める。積分の平均値の定理により、各区間 $[y_{j-1}, y_j]$ においてある点 $y_{ij}^* \in [y_{j-1}, y_j]$ が存在し $\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x_i, y)\,dy = f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$ を満たす。

$j = 1, \dots, n$ にわたって足し合わせると $A(x_i) = \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$ となる。これに $\Delta x$ を掛けて $i = 1, \dots, m$ について和をとると $\sum_{i=1}^m A(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta x\,\Delta y$ を得る。$f$ はコンパクトな長方形 $R$ 上で一様連続であるから、$\Delta x, \Delta y \to 0$ とすると左辺は $\int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right) dx$ に収束し、右辺は $\iint_R f(x,y)\,dA$ に収束する。$x$ と $y$ を入れ替えて同様の議論を行えば逆順の累次積分との等号も示される。