重積分

格子上の微小な角柱を足し合わせて体積を求めるとき、先に $y$ 方向の列を足して断面積 $A(x)$ を求めてから $A(x)$ を $x$ で積分しても、先に $y$ 軸に垂直な断面で切ってから積分しても結果は同じになる。

$[a,b]$ を幅 $\Delta x$ の $m$ 個の小区間 $[x_{i-1}, x_i]$ に、$[c,d]$ を幅 $\Delta y$ の $n$ 個の小区間 $[y_{j-1}, y_j]$ に分割する。各 $x$ を固定するごとに断面積分 $A(x) = \int_c^d f(x,y)\,dy$ を定める。積分の平均値の定理により、各区間 $[y_{j-1}, y_j]$ においてある点 $y_{ij}^* \in [y_{j-1}, y_j]$ が存在し $\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x_i, y)\,dy = f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$ を満たす。

$j = 1, \dots, n$ にわたって足し合わせると $A(x_i) = \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta y$ となる。これに $\Delta x$ を掛けて $i = 1, \dots, m$ について和をとると $\sum_{i=1}^m A(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_i, y_{ij}^*)\,\Delta x\,\Delta y$ を得る。$f$ はコンパクトな長方形 $R$ 上で一様連続であるから、$\Delta x, \Delta y \to 0$ とすると左辺は $\int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b \left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right) dx$ に収束し、右辺は $\iint_R f(x,y)\,dA$ に収束する。$x$ と $y$ を入れ替えて同様の議論を行えば逆順の累次積分との等号も示される。

一変数の置換積分で $dx = g'(u)\,du$ が長さを伸縮させるのと同様に、$|\det D\Phi(u,v)|$ は微小な $(u,v)$ 長方形が $(x,y)$ 平面の平行四辺形へ写されるときの局所的な面積拡大率を表す。

$U$ 内の微小な長方形 $R_{ij} = [u_i, u_i + \Delta u] \times [v_j, v_j + \Delta v]$ を考える。$(u_i, v_j)$ の周りでの一階テイラー展開により、辺 $( \Delta u, 0 )$ と $( 0, \Delta v )$ は近似的に接ベクトル $\mathbf{a} = \Phi_u(u_i,v_j)\,\Delta u = (x_u, y_u)\,\Delta u$ と $\mathbf{b} = \Phi_v(u_i,v_j)\,\Delta v = (x_v, y_v)\,\Delta v$ に写される。$\mathbb{R}^2$ において $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が張る平行四辺形の面積は、高次の誤差 $o(\Delta u\,\Delta v)$ を除いて $|x_u y_v - x_v y_u|\,\Delta u\,\Delta v = |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ に等しい。

$\Delta A_{ij} \approx |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ をリーマン和 $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,\Delta A_{ij}$ に代入すると $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,|\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ が得られる。特に極座標 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ では $\det D\Phi = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$ となり、$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ が導かれる。