変数変換定理とヤコビ行列式

$U$ 内の微小な長方形 $R_{ij} = [u_i, u_i + \Delta u] \times [v_j, v_j + \Delta v]$ を考える。$(u_i, v_j)$ の周りでの一階テイラー展開により、辺 $( \Delta u, 0 )$ と $( 0, \Delta v )$ は近似的に接ベクトル $\mathbf{a} = \Phi_u(u_i,v_j)\,\Delta u = (x_u, y_u)\,\Delta u$ と $\mathbf{b} = \Phi_v(u_i,v_j)\,\Delta v = (x_v, y_v)\,\Delta v$ に写される。$\mathbb{R}^2$ において $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が張る平行四辺形の面積は、高次の誤差 $o(\Delta u\,\Delta v)$ を除いて $|x_u y_v - x_v y_u|\,\Delta u\,\Delta v = |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ に等しい。

$\Delta A_{ij} \approx |\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ をリーマン和 $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,\Delta A_{ij}$ に代入すると $\sum_{i,j} f(\Phi(u_i, v_j))\,|\det D\Phi(u_i, v_j)|\,\Delta u\,\Delta v$ が得られる。特に極座標 $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ では $\det D\Phi = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$ となり、$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ が導かれる。