平面におけるユークリッド距離の公式

$A(x_1,y_1)$ と同じ第2座標 $y_1$ を持ち、$B(x_2,y_2)$ と同じ第1座標 $x_2$ を持つ補助点 $C(x_2,y_1)$ をとる。

線分 $AC$ は第1軸に平行で長さは $AC=|x_2-x_1|$ であり、線分 $CB$ は第2軸に平行で長さは $CB=|y_2-y_1|$ である。二つの座標軸は直交しているから $\angle ACB=90^\circ$ となる。

直角三角形 $\triangle ACB$ にピタゴラスの定理を適用すると $AB^2=AC^2+CB^2=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$ が成り立つ。非負の平方根をとれば $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ が得られる（この式は $x_1=x_2$ または $y_1=y_2$ の退化した場合にも成り立つ）。