平面における座標法

$A$ と $B$ から座標軸に平行な直線を引くと、二辺の長さが $|x_2-x_1|$ と $|y_2-y_1|$ の直角三角形ができるため、斜辺 $AB$ はピタゴラスの定理からただちに導かれる。

$A(x_1,y_1)$ と同じ第2座標 $y_1$ を持ち、$B(x_2,y_2)$ と同じ第1座標 $x_2$ を持つ補助点 $C(x_2,y_1)$ をとる。

線分 $AC$ は第1軸に平行で長さは $AC=|x_2-x_1|$ であり、線分 $CB$ は第2軸に平行で長さは $CB=|y_2-y_1|$ である。二つの座標軸は直交しているから $\angle ACB=90^\circ$ となる。

直角三角形 $\triangle ACB$ にピタゴラスの定理を適用すると $AB^2=AC^2+CB^2=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$ が成り立つ。非負の平方根をとれば $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ が得られる（この式は $x_1=x_2$ または $y_1=y_2$ の退化した場合にも成り立つ）。

$M_0$ から $\Delta$ への最短線分は法線方向 $\vec{n}=(a,b)$ に沿うため、$\Delta$ 上の点から $M_0$ へのベクトルを単位法線ベクトル $\dfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ に射影すれば正確な垂直距離が得られる。

$M_0(x_0,y_0)$ から $\Delta$ への正射影を $H(x_H,y_H)$ とする。$\overrightarrow{HM_0}$ は法線ベクトル $\vec{n}=(a,b)$ に平行であるから、ある実数 $t\in\mathbb{R}$ が存在して $\overrightarrow{HM_0}=t\vec{n}=(ta,tb)$ と表せ、$x_H=x_0-ta$ および $y_H=y_0-tb$ となる。

$H$ は $\Delta$ 上にあるから、その座標は $ax_H+by_H+c=0$ を満たす。$x_H$ と $y_H$ を代入すると $a(x_0-ta)+b(y_0-tb)+c=0$、すなわち $ax_0+by_0+c-t(a^2+b^2)=0$ を得る。

$t$ について解くと $t=\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ となる。したがって求める距離は $d(M_0,\Delta)=|\overrightarrow{HM_0}|=|t|\,|\vec{n}|=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である。