点と直線の距離の公式

$M_0(x_0,y_0)$ から $\Delta$ への正射影を $H(x_H,y_H)$ とする。$\overrightarrow{HM_0}$ は法線ベクトル $\vec{n}=(a,b)$ に平行であるから、ある実数 $t\in\mathbb{R}$ が存在して $\overrightarrow{HM_0}=t\vec{n}=(ta,tb)$ と表せ、$x_H=x_0-ta$ および $y_H=y_0-tb$ となる。

$H$ は $\Delta$ 上にあるから、その座標は $ax_H+by_H+c=0$ を満たす。$x_H$ と $y_H$ を代入すると $a(x_0-ta)+b(y_0-tb)+c=0$、すなわち $ax_0+by_0+c-t(a^2+b^2)=0$ を得る。

$t$ について解くと $t=\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ となる。したがって求める距離は $d(M_0,\Delta)=|\overrightarrow{HM_0}|=|t|\,|\vec{n}|=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である。