ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理(二分法による証明)

$(x_n)$ を有界とし、$a<b$ で $x_n\in[a,b]$(すべての $n$ について)を満たすとする。二分を繰り返して入れ子になった区間の列を作る。$[a,b]$ を2つの半分 $[a,\tfrac{a+b}{2}]$ と $[\tfrac{a+b}{2},b]$ に分ける。数列は(添字で数えて)無限に多くの項を持ち、半分は2つしかないので、鳩の巣原理により少なくとも一方の半分は無限に多くの添字 $n$ について $x_n$ を含む。その半分を $k=1$ として $[a_k,b_k]$ と呼ぶ。

同じ二分を $[a_1,b_1]$ に対して繰り返す:これを2つに分け、再び鳩の巣原理により少なくとも一方の半分が無限に多くの $n$ について $x_n$ を含む。それを $[a_2,b_2]$ と呼ぶ。これを永遠に続けると、入れ子の連鎖 $[a,b]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots$ が得られ、各区間は無限に多くの添字について $x_n$ を含み、それぞれの幅は前の半分なので、$[a_k,b_k]$ の幅はちょうど $(b-a)/2^{k}$ となり、$k\to\infty$ で $0$ に近づく。

次に部分列を構成する:$[a_1,b_1]$ は数列の無限に多くの項を含むので、$x_{n_1}\in[a_1,b_1]$ となる添字 $n_1$ を任意に選ぶ。$[a_2,b_2]$ も無限に多くの項を含む(有限個の添字を除いてまだ使える)ので、$x_{n_2}\in[a_2,b_2]$ となる $n_2>n_1$ を選ぶ。帰納的に続け、各段階 $k$ で $x_{n_k}\in[a_k,b_k]$ となる $n_k>n_{k-1}$ を選ぶ。$[a_k,b_k]$ は無限に多くの項を含むので $n_{k-1}$ を超える添字がまだ無限に残っており、これは常に可能である。

実数の入れ子区間性質(各 $[a_k,b_k]$ は閉区間で入れ子になっており、幅が $0$ に縮小する)により、その共通部分はただ1点になる:ある $L\in[a,b]$ について $\bigcap_{k=1}^{\infty} [a_k,b_k] = \{L\}$。$x_{n_k}$ と $L$ はどちらも幅 $(b-a)/2^{k}$ の $[a_k,b_k]$ に属するので、$|x_{n_k}-L|\le (b-a)/2^{k}\to 0$ が成り立つ。$k\to\infty$ で右辺は $0$ に近づき、$x_{n_k}\to L$ が強制される。よって $(x_{n_k})$ は $(x_n)$ の収束する部分列であり、証明が完了する。