← 戻る ライブラリ › 数学の歴史と哲学 › 数学史 数学の歴史と哲学
19〜21世紀の数学 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε d s 2 = g i j d x i d x j ds^2=g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s
直観 厳密さから研究の最前線への旅 1800年までに微積分は2世紀にわたって驚異的な成果を上げていたが、その土台は揺らいでいた。「無限小」とは正確には何なのか、誰も説明できなかったのだ。19世紀はその隙間を厳密な論理で埋め、20〜21世紀はニュートンやライプニッツが想像もしなかった扉を開いた——抽象構造、3次元を超える空間、そして機械で検証された証明である。このトピックはその軌跡をたどる。極限の ε \varepsilon ε δ \delta δ
複素関数のドメインカラーリング:19世紀の解析学者(コーシー、リーマン)は複素平面上の関数を研究し、零点と極が深い構造を明らかにした——未だ証明されていないリーマン予想は、まさにゼータ関数の零点がどこにあるかについての主張である。 中高 解析学の厳密化:極限の ε \varepsilon ε δ \delta δ 定義: コーシー・ワイエルシュトラスの極限
lim x → a f ( x ) = L \lim_{x\to a}f(x)=L lim x → a f ( x ) = L ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε ε \varepsilon ε δ \delta δ a a a
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε それぞれの記号には意味がある。∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 \exists\delta>0 ∃ δ > 0 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε a a a δ \delta δ a a a f ( x ) f(x) f ( x ) L L L ε \varepsilon ε
大学 ガロア理論:群構造で見る冪根による可解性 定義: ガロアの可解性判定条件
エヴァリスト・ガロアはすべての多項式方程式に群——その根の間のあらゆる有理関係を保つ対称性の群、すなわちガロア群——を対応させ、次を証明した:その方程式が冪根で解ける(+ , − , × , ÷ +,-,\times,\div + , − , × , ÷ n n n 可解群 である場合、かつその場合に限る。可解群とは、部分群の列 1 = G 0 ◃ G 1 ◃ ⋯ ◃ G k = G 1=G_0\triangleleft G_1\triangleleft\cdots\triangleleft G_k=G 1 = G 0 ◃ G 1 ◃ ⋯ ◃ G k = G G i + 1 / G i G_{i+1}/G_i G i + 1 / G i Q \mathbb{Q} Q x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2 S 3 S_3 S 3 1 ◃ A 3 ◃ S 3 1\triangleleft A_3\triangleleft S_3 1 ◃ A 3 ◃ S 3 A 3 / 1 ≅ Z / 3 Z A_3/1\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} A 3 /1 ≅ Z /3 Z S 3 / A 3 ≅ Z / 2 Z S_3/A_3\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} S 3 / A 3 ≅ Z /2 Z
1 ◃ A 3 ◃ S 3 1\triangleleft A_3\triangleleft S_3 1 ◃ A 3 ◃ S 3 対照的に、x 5 − x − 1 x^5-x-1 x 5 − x − 1 S 5 S_5 S 5 S 5 S_5 S 5 ない ——その正規部分群は 1 1 1 A 5 A_5 A 5 S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 x 5 − 1 x^5-1 x 5 − 1
19世紀はまた、幾何学をユークリッド的な平坦さから解放した。ベルンハルト・リーマンは、任意の滑らかな空間上で、より大きな平坦空間に埋め込む必要なく、距離を内在的に測る計量 d s 2 = g i j d x i d x j ds^2=g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j g i j g_{ij} g ij ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s s s s 1 / 2 1/2 1/2
d s 2 = g i j d x i d x j ds^2=g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} ζ ( s ) = n = 1 ∑ ∞ n − s 一方でゲオルク・カントールは無限集合の厳密な理論を構築し(下記の定理1)、無限にも本質的に大きさの異なるものがあることを示した——実数 R \mathbb{R} R
数学の3世紀を一望する 世紀 主要な数学者 画期的な成果 主要な年代 19 コーシー、リーマン、ガロア、カントール 厳密な極限 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε d s 2 = g i j d x i d x j ds^2=g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s 1821–1874年 20 ヒルベルト、ゲーデル、グロタンディーク、ポアンカレ ヒルベルトの23の問題;ゲーデルの不完全性定理;グロタンディークのスキーム S p e c ( R ) \mathrm{Spec}(R) Spec ( R ) 1900年〜1970年代 21 ペレルマン、メイナード、ビャゾフスカ ポアンカレ予想の証明;素数間の有界なギャップ;8次元と24次元での最適な球充填;AI支援による形式的証明検証 2002年〜2024年
区間 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] R \mathbb{R} R x 1 , x 2 , x 3 , … x_1, x_2, x_3, \ldots x 1 , x 2 , x 3 , …
なぜ正しいのか? これは、無限集合にも異なる大きさがあることを示した最初の証明である:自然数と実数はどちらも無限だが、一方の無限は他方より真に大きい。これは、ほとんどの実数が有限の公式では記述できない理由の根底にあり、論理学やコンピュータ科学全般(例えば停止問題)で使われる対角線論法の祖先である。
証明 背理法で示す。[ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] x 1 , x 2 , x 3 , … x_1, x_2, x_3, \ldots x 1 , x 2 , x 3 , … x n = 0. d n 1 d n 2 d n 3 … x_n = 0.d_{n1}d_{n2}d_{n3}\ldots x n = 0. d n 1 d n 2 d n 3 …
次に、この列の対角線をたどることで、新しい数 y y y y = 0. e 1 e 2 e 3 … y = 0.e_1e_2e_3\ldots y = 0. e 1 e 2 e 3 … n n n e n = { 5 d n n ≠ 5 6 d n n = 5 e_n=\begin{cases}5 & d_{nn}\neq5\\6 & d_{nn}=5\end{cases} e n = { 5 6 d nn = 5 d nn = 5 { 5 , 6 } \{5,6\} { 5 , 6 } y y y
すべての添字 n n n y y y n n n x n x_n x n e n ≠ d n n e_n\neq d_{nn} e n = d nn y ≠ x n ∀ n y\neq x_n\ \forall n y = x n ∀ n y y y 5 5 5 6 6 6 y ∈ [ 0 , 1 ] y\in[0,1] y ∈ [ 0 , 1 ]
しかしそうすると、y y y [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] x n x_n x n [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] R \mathbb{R} R
実数の有界数列 ( x n ) (x_n) ( x n ) ( x n k ) (x_{n_k}) ( x n k )
なぜ正しいのか? これは実解析を機能させる鍵となるコンパクト性の事実である:有界な過程がどこにも集積せずに永遠にさまようことはできないことを保証し、極値定理、最適化における最小化元の存在、そして解析学全体にわたる完備性の議論を支えている。
証明 ( x n ) (x_n) ( x n ) a < b a<b a < b x n ∈ [ a , b ] x_n\in[a,b] x n ∈ [ a , b ] n n n [ a , b ] [a,b] [ a , b ] [ a , a + b 2 ] [a,\tfrac{a+b}{2}] [ a , 2 a + b ] [ a + b 2 , b ] [\tfrac{a+b}{2},b] [ 2 a + b , b ] n n n x n x_n x n k = 1 k=1 k = 1 [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ a k , b k ]
同じ二分を [ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [ a 1 , b 1 ] n n n x n x_n x n [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [ a 2 , b 2 ] [ a , b ] ⊃ [ a 1 , b 1 ] ⊃ [ a 2 , b 2 ] ⊃ ⋯ [a,b]\supset[a_1,b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots [ a , b ] ⊃ [ a 1 , b 1 ] ⊃ [ a 2 , b 2 ] ⊃ ⋯ x n x_n x n [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ a k , b k ] ( b − a ) / 2 k (b-a)/2^{k} ( b − a ) / 2 k k → ∞ k\to\infty k → ∞ 0 0 0
次に部分列を構成する:[ a 1 , b 1 ] [a_1,b_1] [ a 1 , b 1 ] x n 1 ∈ [ a 1 , b 1 ] x_{n_1}\in[a_1,b_1] x n 1 ∈ [ a 1 , b 1 ] n 1 n_1 n 1 [ a 2 , b 2 ] [a_2,b_2] [ a 2 , b 2 ] x n 2 ∈ [ a 2 , b 2 ] x_{n_2}\in[a_2,b_2] x n 2 ∈ [ a 2 , b 2 ] n 2 > n 1 n_2>n_1 n 2 > n 1 k k k x n k ∈ [ a k , b k ] x_{n_k}\in[a_k,b_k] x n k ∈ [ a k , b k ] n k > n k − 1 n_k>n_{k-1} n k > n k − 1 [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ a k , b k ] n k − 1 n_{k-1} n k − 1
実数の入れ子区間性質(各 [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ a k , b k ] 0 0 0 L ∈ [ a , b ] L\in[a,b] L ∈ [ a , b ] ⋂ k = 1 ∞ [ a k , b k ] = { L } \bigcap_{k=1}^{\infty} [a_k,b_k] = \{L\} ⋂ k = 1 ∞ [ a k , b k ] = { L } x n k x_{n_k} x n k L L L ( b − a ) / 2 k (b-a)/2^{k} ( b − a ) / 2 k [ a k , b k ] [a_k,b_k] [ a k , b k ] ∣ x n k − L ∣ ≤ ( b − a ) / 2 k → 0 |x_{n_k}-L|\le (b-a)/2^{k}\to 0 ∣ x n k − L ∣ ≤ ( b − a ) / 2 k → 0 k → ∞ k\to\infty k → ∞ 0 0 0 x n k → L x_{n_k}\to L x n k → L ( x n k ) (x_{n_k}) ( x n k ) ( x n ) (x_n) ( x n )
発展 20世紀:スキームとラングランズ・プログラム 古典的な代数幾何学は、複素数や実数上の多項式方程式の解集合を研究していた。1960年代、アレクサンダー・グロタンディークはこの分野を基礎から作り直した:任意の可換環 R R R S p e c ( R ) \mathrm{Spec}(R) Spec ( R ) R R R p p p スキーム と呼ばれる正真正銘の幾何学的対象に変えた。これにより、同じ幾何学的直感と道具(次元、滑らかさ、コホモロジー)を数論と幾何学の両方に統一的に適用できるようになり、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明やドリーニュによるヴェイユ予想の証明に不可欠であった。並行して、1967年以降ロバート・ラングランズが提唱したラングランズ・プログラムは、ガロア表現(多項式方程式の解の対称性、ガロア群の一般化)と保型形式(調和解析における高度に対称的な関数)の間の深い対応関係を予想しており、この統一的な辞書はすでに主要な定理を生み出し、現代数論の多くを今なお牽引している。
研究 21世紀:現在の研究の最前線 大学 実世界での応用と具体例 これらの抽象概念は決して机上の空論ではない。有限体上のガロア理論は現代暗号の代数的な背骨である:AESは有限体 G F ( 2 8 ) \mathrm{GF}(2^8) GF ( 2 8 ) d s 2 = g i j d x i d x j ds^2=g_{ij}\,dx^i dx^j d s 2 = g ij d x i d x j g i j g_{ij} g ij
例: ε \varepsilon ε δ \delta δ
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5 \lim_{x\to2}(3x-1)=5 lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5
解答 任意の ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 0 < ∣ x − 2 ∣ < δ 0<|x-2|<\delta 0 < ∣ x − 2∣ < δ ∣ ( 3 x − 1 ) − 5 ∣ < ε |(3x-1)-5|<\varepsilon ∣ ( 3 x − 1 ) − 5∣ < ε δ > 0 \delta>0 δ > 0 ∣ ( 3 x − 1 ) − 5 ∣ = 3 ∣ x − 2 ∣ < 3 δ = ε |(3x-1)-5|=3|x-2|<3\delta=\varepsilon ∣ ( 3 x − 1 ) − 5∣ = 3∣ x − 2∣ < 3 δ = ε ∣ ( 3 x − 1 ) − 5 ∣ = ∣ 3 x − 6 ∣ = 3 ∣ x − 2 ∣ |(3x-1)-5|=|3x-6|=3|x-2| ∣ ( 3 x − 1 ) − 5∣ = ∣3 x − 6∣ = 3∣ x − 2∣
したがって 3 ∣ x − 2 ∣ < ε 3|x-2|<\varepsilon 3∣ x − 2∣ < ε ∣ x − 2 ∣ < ε / 3 |x-2|<\varepsilon/3 ∣ x − 2∣ < ε /3 δ \delta δ δ = ε / 3 \delta=\varepsilon/3 δ = ε /3
実際に確かめよう。0 < ∣ x − 2 ∣ < δ = ε / 3 0<|x-2|<\delta=\varepsilon/3 0 < ∣ x − 2∣ < δ = ε /3 ∣ x − 2 ∣ < ε / 3 |x-2|<\varepsilon/3 ∣ x − 2∣ < ε /3 3 3 3 3 ∣ x − 2 ∣ < ε 3|x-2|<\varepsilon 3∣ x − 2∣ < ε ∣ ( 3 x − 1 ) − 5 ∣ < ε |(3x-1)-5|<\varepsilon ∣ ( 3 x − 1 ) − 5∣ < ε ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 δ \delta δ ε \varepsilon ε δ \delta δ lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5 \lim_{x\to2}(3x-1)=5 lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5
例: x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2 S 3 S_3 S 3 S 3 S_3 S 3
Q \mathbb{Q} Q x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2
解答 C \mathbb{C} C x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2 2 3 \sqrt[3]{2} 3 2 ω 2 3 \omega\sqrt[3]{2} ω 3 2 ω 2 2 3 \omega^2\sqrt[3]{2} ω 2 3 2 ω = e 2 π i / 3 \omega=e^{2\pi i/3} ω = e 2 π i /3 Q ( 2 3 , ω ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega) Q ( 3 2 , ω )
この体を2段階で構成する。まず実根を添加する:[ Q ( 2 3 ) : Q ] = 3 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3 [ Q ( 3 2 ) : Q ] = 3 x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2 p = 2 p=2 p = 2 Q \mathbb{Q} Q 2 3 \sqrt[3]{2} 3 2 Q ( 2 3 ) ⊂ R \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{R} Q ( 3 2 ) ⊂ R ω 2 3 \omega\sqrt[3]{2} ω 3 2 ω \omega ω ω \omega ω x 2 + x + 1 = 0 x^2+x+1=0 x 2 + x + 1 = 0 Q ( 2 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) Q ( 3 2 ) ω \omega ω [ Q ( 2 3 , ω ) : Q ] = 6 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q}]=6 [ Q ( 3 2 , ω ) : Q ] = 6
ガロア群の位数はこの次数に等しいので ∣ G a l ∣ = 6 |\mathrm{Gal}|=6 ∣ Gal ∣ = 6 すべて の置換として作用しうる位数6の群は S 3 S_3 S 3 3 ! = 6 3!=6 3 ! = 6 σ \sigma σ ω \omega ω 2 3 ↦ ω 2 3 ↦ ω 2 2 3 ↦ 2 3 \sqrt[3]{2}\mapsto\omega\sqrt[3]{2}\mapsto\omega^2\sqrt[3]{2}\mapsto\sqrt[3]{2} 3 2 ↦ ω 3 2 ↦ ω 2 3 2 ↦ 3 2 τ \tau τ 2 3 \sqrt[3]{2} 3 2 ω ↦ ω 2 \omega\mapsto\omega^2 ω ↦ ω 2 σ \sigma σ τ \tau τ G a l ( Q ( 2 3 , ω ) / Q ) ≅ S 3 \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/\mathbb{Q})\cong S_3 Gal ( Q ( 3 2 , ω ) / Q ) ≅ S 3
最後に可解性について:S 3 S_3 S 3 1 ◃ A 3 ◃ S 3 1\triangleleft A_3\triangleleft S_3 1 ◃ A 3 ◃ S 3 A 3 = { 1 , σ , σ 2 } ≅ Z / 3 Z A_3=\{1,\sigma,\sigma^2\}\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} A 3 = { 1 , σ , σ 2 } ≅ Z /3 Z A 3 / 1 ≅ Z / 3 Z A_3/1\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} A 3 /1 ≅ Z /3 Z S 3 / A 3 ≅ Z / 2 Z S_3/A_3\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} S 3 / A 3 ≅ Z /2 Z S 3 S_3 S 3 x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2
よくある誤り. よくある混同:「アーベル・ルフィニは5次方程式が冪根で解けないと言っている」と覚え、それを誤って「次数が ≥ 5 \ge 5 ≥ 5 群 であって次数 ではない。実際、いくつかの5次方程式は完全に解ける:x 5 − 1 x^5-1 x 5 − 1 Z / 5 Z \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} Z /5 Z 公式 は存在しないということである。なぜなら、x 5 − x − 1 x^5-x-1 x 5 − x − 1 一般の 5次方程式のガロア群は S 5 S_5 S 5 Q \mathbb{Q} Q R \mathbb{R} R N \mathbb{N} N R \mathbb{R} R 歴史的ノート
1900年8月、パリで開かれた第2回国際数学者会議で、デイヴィット・ヒルベルトは、来る世紀にとって中心的だと考えた23の未解決問題を挙げた講演を行った——連続体仮説(問題1、N \mathbb{N} N R \mathbb{R} R
ダフィット・ヒルベルト ゲオルク・カントール
研究の最前線 2026年時点
3つの画期的な成果がこれまでの21世紀を象徴している。2002〜2003年、グリゴリー・ペレルマンはリチャード・ハミルトンのリッチフロー計画を用いてポアンカレ予想(単連結な閉3次元多様体はすべて位相的に球面である)を証明するプレプリントを発表した。これは今日までのトポロジーと幾何学における最も深遠な成果の一つである(彼はフィールズ賞とクレイ・ミレニアム賞の賞金の両方を辞退した)。2013〜2014年、ジェームズ・メイナードとイータン・チャンはそれぞれ独立に、素数間の有界なギャップに関する大きな突破口を開き、互いに有界な距離内にある素数の組が無限に存在することを示した。メイナードのその後の改良は、等差数列中の素数や連続する素数間のギャップに関する結果を押し進めた。2016年、マリナ・ビャゾフスカはモジュラー形式を用いて8次元での球充填問題を解決し、その直後、共同研究者とともに24次元でも解決した——3次元におけるケプラー予想以来、3次元を超える次元で初めての最適な球充填の証明である。4つ目の、単一の定理というよりむしろ方法論的な進行中の転換は、大規模な形式化プロジェクト(ピーター・ショルツェの深い成果をLean証明支援系で形式化するLiquid Tensor Experiment、拡大し続けるMathlibやIsabelle/HOLのライブラリ)とAIシステム——DeepMindのAlphaProofとAlphaGeometryは2024年国際数学オリンピックで銀メダル相当の成績を収めた——が、機械で検証された証明を、ヒルベルトが1900年に素描することしかできなかった願望ではなく、研究数学の実用的な道具にし始めていることである。
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε \forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < ∣ x − a ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < ε lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5 \lim_{x\to2}(3x-1)=5 lim x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5 δ \delta δ ε \varepsilon ε
δ = ε / 3 \delta=\varepsilon/3 δ = ε /3 δ = 3 ε \delta=3\varepsilon δ = 3 ε δ = ε 2 \delta=\varepsilon^2 δ = ε 2 δ = ε − 3 \delta=\varepsilon-3 δ = ε − 3 Q \mathbb{Q} Q x 3 − 2 x^3-2 x 3 − 2
S 3 S_3 S 3 Z / 3 Z \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} Z /3 Z S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 現代の楕円曲線暗号(ECC、ほとんどのウェブ通信TLSを保護する)の基盤となっている19世紀の代数構造はどれか。
有限体のガロア理論 フーリエ級数 リーマンのゼータ関数 カントールの集合論
19世紀に導入されたリーマンの内在的幾何学は、20世紀のどの物理理論の数学的言語を提供しているか。
一般相対性理論 量子力学 熱力学 ニュートン力学