非自明解の存在

ディリクレの近似定理により、任意の整数 $Q>0$ に対し $1\le q\le Q$ かつ $\left|\sqrt d - \frac{p}{q}\right|<\frac{1}{qQ}$ を満たす整数 $p,q$ が存在する。$Q\to\infty$ とすると $\left|\sqrt d-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}$ を満たす組 $(p,q)$ が無限に得られる。

そのような各組に対し $|p-q\sqrt d|<\frac{1}{q}$ なので $|p^2-dq^2|=|p-q\sqrt d|\cdot|p+q\sqrt d|<\frac{1}{q}\left(2q\sqrt d+\frac{1}{q}\right)<2\sqrt d+1$ となる。よって $p^2-dq^2$ は区間 $(-2\sqrt d-1,\,2\sqrt d+1)$ 内の有限個の整数値しか取らないが、組 $(p,q)$ は無限に存在する。

鳩の巣原理により、その有限範囲内のある固定された非零整数 $k$ が、無限個の組 $(p,q)$ に対し $p^2-dq^2=k$ を満たす。これら無限個の組の中で、再び鳩の巣原理により、無限個が同じ剰余類 $p\equiv p_0,\ q\equiv q_0\pmod{|k|}$ を持つ。

そのような相異なる二組 $(p_1,q_1)\neq(p_2,q_2)$ で $p_1^2-dq_1^2=p_2^2-dq_2^2=k$ かつ $|k|$ を法として剰余が一致するものを取る。$x+y\sqrt d = \frac{(p_1+q_1\sqrt d)(p_2-q_2\sqrt d)}{k}$ とおく;展開すると $x=\frac{p_1p_2-dq_1q_2}{k}$ と $y=\frac{p_1q_2-p_2q_1}{k}$ は、$|k|$ を法とする剰余が一致することにより正真正銘の整数であることが分かり、ノルム $N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2$ の乗法性より $x^2-dy^2=\frac{k\cdot k}{k^2}=1$ が得られる。$(p_1,q_1)\neq(p_2,q_2)$ だが極限で同じ比を与えるので $y\neq 0$ が確認でき、$(x,y)$ を $(|x|,|y|)$ に置き換えても(平方しか現れないので依然解である)正の整数解が得られる。