つり合い条件

$p(x) = \min_{\alpha \in S}(c_\alpha + \alpha \cdot x)$ は、各点 $\alpha \in S$ を高さ $c_\alpha$ に持ち上げてから下側凸包を平面へ射影して得られる、そのニュートン多角形 $\mathrm{conv}(S)$ の正則細分 $\Delta_p$ と双対であることを思い出そう。$V(p)$ の各辺 $e$ は $\Delta_p$ のある辺 $e^*$ と双対である：$e$ は $e^*$ と直交し（$90^\circ$ 回転）、その重み $w$ は $e^*$ の格子長に等しい。$V(p)$ の各頂点 $v$ は $\Delta_p$ のある $2$ 次元胞（多角形）$\sigma_v$ と双対であり、$v$ に接続する $V(p)$ の辺は、対応する巡回順序で、ちょうど $\sigma_v$ の境界辺に対応する。閉多角形 $\sigma_v$ の境界を一周たどると、その辺ベクトル $e_1^*, \dots, e_k^*$ の和はゼロになる——多角形は出発点に戻ってくるからである：$e_1^* + \cdots + e_k^* = 0$。$90^\circ$ 回転は線形写像 $R$ であり、各 $R(e_j^*)$ は（固定された向きの選び方のもとで）$w_j v_j$ に等しい（重み $w_j$ は $e_j^*$ の格子長であり、$v_j$ は $e_j^*$ を回転・原始ベクトルへ再スケールしたものである）。線形写像 $R$ を $e_1^* + \cdots + e_k^* = 0$ の両辺に適用すると $w_1 v_1 + \cdots + w_k v_k = R(0) = 0$ が得られ、これがまさにつり合い条件である。