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熱帯幾何学 通常の加法と乗法を熱帯演算 ⊕ = min \oplus=\min ⊕ = min ⊗ = + \otimes=+ ⊗ = +
直観 普通の算術から熱帯算術へ 「足し算」を2つの価格のうち安いほうを選ぶこと 、「掛け算」をある経路に沿って費用を合計すること だと考えてみよう。+ ∞ +\infty + ∞ a ⊕ b = min ( a , b ) a \oplus b = \min(a, b) a ⊕ b = min ( a , b ) a ⊗ b = a + b a \otimes b = a + b a ⊗ b = a + b 熱帯多項式 とは、通常の多項式のすべての + + + ⊕ \oplus ⊕ × \times × ⊗ \otimes ⊗ ⊗ \otimes ⊗ x ⊗ 3 x^{\otimes 3} x ⊗ 3 x x x 3 x 3x 3 x 有限個の一次関数の最小値 へと崩れ落ちる。滑らかな曲線の代わりに、その「零点集合」は、その最小値が少なくとも2つの一次関数の断片で同時に達成される点の集合——つまり角、すなわち区分線形なグラフ ——になる。
なぜ「熱帯（tropical）」と呼ぶのか。この名前は、1970年代後半から理論計算機科学においてmin-plus代数の研究を切り拓いたハンガリー生まれのブラジル人計算機科学者イムレ・シモン （Imre Simon、1943–2009年）に敬意を表したものである。オートマトン理論を専門とするフランス人の同僚たちは、シモンの故郷である南回帰線より南に位置するサンパウロにちなんで、親しみを込めて「熱帯」という形容詞を作った。シュトゥルムフェルスとスパイヤーが後に述べたように、そこに「深い意味は何もない」。min-plus半環の上で代数幾何学を行うと本物の豊かな幾何学的理論が生まれることに数学者たちが気づいたとき、この名前は定着した。
例: 熱帯多項式の値を手計算で求める
1変数の熱帯多項式 p ( x ) = min ( 2 x + 3 , x + 1 , 2 ) p(x) = \min(2x + 3,\ x + 1,\ 2) p ( x ) = min ( 2 x + 3 , x + 1 , 2 ) 2 ⊗ x ⊗ 2 ⊕ 1 ⊗ x ⊕ 2 2 \otimes x^{\otimes 2} \oplus 1 \otimes x \oplus 2 2 ⊗ x ⊗ 2 ⊕ 1 ⊗ x ⊕ 2 x 2 , x , x 0 x^2, x, x^0 x 2 , x , x 0 2 , 1 , 2 2, 1, 2 2 , 1 , 2 p ( 1 ) p(1) p ( 1 )
解答 3つの一次式のそれぞれに x = 1 x = 1 x = 1 2 ( 1 ) + 3 = 5 2(1) + 3 = 5 2 ( 1 ) + 3 = 5 1 + 1 = 2 1 + 1 = 2 1 + 1 = 2 2 2 2 p ( 1 ) = min ( 5 , 2 , 2 ) = 2 p(1) = \min(5, 2, 2) = 2 p ( 1 ) = min ( 5 , 2 , 2 ) = 2 一致する こと（2 = 2 2 = 2 2 = 2 角の点 であり、根の熱帯類似物である。
大学 熱帯半環と熱帯曲線 定義: 熱帯半環
熱帯半環 （min-plus 規約による）とは、集合 T = R ∪ { + ∞ } \mathbb{T} = \mathbb{R} \cup \{+\infty\} T = R ∪ { + ∞ } a ⊕ b = min ( a , b ) a \oplus b = \min(a, b) a ⊕ b = min ( a , b ) a ⊗ b = a + b a \otimes b = a + b a ⊗ b = a + b 半環 である：⊕ \oplus ⊕ ⊗ \otimes ⊗ ⊗ \otimes ⊗ ⊕ \oplus ⊕ + ∞ +\infty + ∞ a a a min ( a , x ) = + ∞ \min(a, x) = +\infty min ( a , x ) = + ∞ x x x + ∞ +\infty + ∞ min ( a , + ∞ ) = a \min(a, +\infty) = a min ( a , + ∞ ) = a 0 0 0 a + 0 = a a + 0 = a a + 0 = a max-plus 規約（⊕ = max \oplus = \max ⊕ = max x ↦ − x x \mapsto -x x ↦ − x
n n n 熱帯多項式 とは、有限個の ⊗ \otimes ⊗ ⊕ \oplus ⊕ p : R n → R p : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} p : R n → R p ( x ) = ⨁ α ∈ S c α ⊗ x ⊗ α = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) p(x) = \bigoplus_{\alpha \in S} c_\alpha \otimes x^{\otimes \alpha} = \min_{\alpha \in S} \big(c_\alpha + \alpha \cdot x\big) p ( x ) = ⨁ α ∈ S c α ⊗ x ⊗ α = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) S S S α ∈ Z n \alpha \in \mathbb{Z}^n α ∈ Z n c α ∈ R c_\alpha \in \mathbb{R} c α ∈ R p p p 区分線形かつ凹 である。p p p 熱帯超曲面 （n = 2 n = 2 n = 2 熱帯曲線 ）とは、その角の軌跡 V ( p ) = { x ∈ R n : the minimum in p ( x ) is attained by at least two terms } V(p) = \{x \in \mathbb{R}^n : \text{the minimum in } p(x) \text{ is attained by at least two terms}\} V ( p ) = { x ∈ R n : the minimum in p ( x ) is attained by at least two terms } p p p
p ( x ) = ⨁ α ∈ S c α ⊗ x ⊗ α = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) p(x) = \bigoplus_{\alpha \in S} c_\alpha \otimes x^{\otimes \alpha} = \min_{\alpha \in S} \big(c_\alpha + \alpha \cdot x\big) p ( x ) = α ∈ S ⨁ c α ⊗ x ⊗ α = α ∈ S min ( c α + α ⋅ x ) n n n 熱帯多項式 とは、有限個の ⊗ \otimes ⊗ ⊕ \oplus ⊕ p : R n → R p : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} p : R n → R p ( x ) = ⨁ α ∈ S c α ⊗ x ⊗ α = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) p(x) = \bigoplus_{\alpha \in S} c_\alpha \otimes x^{\otimes \alpha} = \min_{\alpha \in S} \big(c_\alpha + \alpha \cdot x\big) p ( x ) = ⨁ α ∈ S c α ⊗ x ⊗ α = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) S S S α ∈ Z n \alpha \in \mathbb{Z}^n α ∈ Z n c α ∈ R c_\alpha \in \mathbb{R} c α ∈ R p p p 区分線形かつ凹 である。p p p 熱帯超曲面 （n = 2 n = 2 n = 2 熱帯曲線 ）とは、その角の軌跡 、すなわち少なくとも2つの一次式の断片が最小値で並ぶ点の集合 V ( p ) = { x ∈ R n : ∣ { α ∈ S : c α + α ⋅ x = p ( x ) } ∣ ≥ 2 } V(p) = \{x \in \mathbb{R}^n : |\{\alpha \in S : c_\alpha + \alpha \cdot x = p(x)\}| \ge 2\} V ( p ) = { x ∈ R n : ∣ { α ∈ S : c α + α ⋅ x = p ( x )} ∣ ≥ 2 } p p p
例: 熱帯直線
2変数で係数がすべて 0 0 0 1 1 1 q ( x , y ) = x ⊕ y ⊕ 0 = min ( x , y , 0 ) q(x, y) = x \oplus y \oplus 0 = \min(x, y, 0) q ( x , y ) = x ⊕ y ⊕ 0 = min ( x , y , 0 )
解答 3つの一次式は x x x y y y 0 0 0 x < y x < y x < y x < 0 x < 0 x < 0 x x x y < x y < x y < x y < 0 y < 0 y < 0 y y y x > 0 x > 0 x > 0 y > 0 y > 0 y > 0 0 0 0 原点から出る3本の半直線 からなる：半直線 { x = y ≤ 0 } \{x = y \le 0\} { x = y ≤ 0 } ( − 1 , − 1 ) (-1,-1) ( − 1 , − 1 ) x x x y y y { x = 0 , y ≥ 0 } \{x = 0,\ y \ge 0\} { x = 0 , y ≥ 0 } ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) x x x { y = 0 , x ≥ 0 } \{y = 0,\ x \ge 0\} { y = 0 , x ≥ 0 } ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) y y y
∑ j = 1 k w j v j = 0 \sum_{j=1}^{k} w_j v_j = 0 j = 1 ∑ k w j v j = 0 p p p v v v V ( p ) V(p) V ( p ) v v v V ( p ) V(p) V ( p ) v 1 , … , v k ∈ Z 2 v_1, \dots, v_k \in \mathbb{Z}^2 v 1 , … , v k ∈ Z 2 v v v w 1 , … , w k w_1, \dots, w_k w 1 , … , w k ∑ j = 1 k w j v j = 0 \sum_{j=1}^{k} w_j v_j = 0 ∑ j = 1 k w j v j = 0
なぜ正しいのか? これは保存則 であり、構造的には電気回路の節点におけるキルヒホッフの電流則と同一である：v v v p p p v v v v v v p p p w j v j w_j v_j w j v j p p p 真に代数的 なもの——すなわち、任意の半直線と線分の寄せ集めではなく、正真正銘の熱帯多項式の角の軌跡——たらしめているのである。
証明 p ( x ) = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) p(x) = \min_{\alpha \in S}(c_\alpha + \alpha \cdot x) p ( x ) = min α ∈ S ( c α + α ⋅ x ) α ∈ S \alpha \in S α ∈ S c α c_\alpha c α c o n v ( S ) \mathrm{conv}(S) conv ( S ) 正則細分 Δ p \Delta_p Δ p V ( p ) V(p) V ( p ) e e e Δ p \Delta_p Δ p e ∗ e^* e ∗ e e e e ∗ e^* e ∗ 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ w w w e ∗ e^* e ∗ V ( p ) V(p) V ( p ) v v v Δ p \Delta_p Δ p 2 2 2 σ v \sigma_v σ v v v v V ( p ) V(p) V ( p ) σ v \sigma_v σ v σ v \sigma_v σ v e 1 ∗ , … , e k ∗ e_1^*, \dots, e_k^* e 1 ∗ , … , e k ∗ e 1 ∗ + ⋯ + e k ∗ = 0 e_1^* + \cdots + e_k^* = 0 e 1 ∗ + ⋯ + e k ∗ = 0 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ R R R R ( e j ∗ ) R(e_j^*) R ( e j ∗ ) w j v j w_j v_j w j v j w j w_j w j e j ∗ e_j^* e j ∗ v j v_j v j e j ∗ e_j^* e j ∗ R R R e 1 ∗ + ⋯ + e k ∗ = 0 e_1^* + \cdots + e_k^* = 0 e 1 ∗ + ⋯ + e k ∗ = 0 w 1 v 1 + ⋯ + w k v k = R ( 0 ) = 0 w_1 v_1 + \cdots + w_k v_k = R(0) = 0 w 1 v 1 + ⋯ + w k v k = R ( 0 ) = 0
上の熱帯直線でつり合い条件を確認してみよう：原点において、3本の半直線の原始方向はそれぞれ ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( − 1 , − 1 ) (-1,-1) ( − 1 , − 1 ) 1 1 1 q q q 0 0 0 1 1 1 1 ⋅ ( 1 , 0 ) + 1 ⋅ ( 0 , 1 ) + 1 ⋅ ( − 1 , − 1 ) = ( 0 , 0 ) 1\cdot(1,0) + 1\cdot(0,1) + 1\cdot(-1,-1) = (0,0) 1 ⋅ ( 1 , 0 ) + 1 ⋅ ( 0 , 1 ) + 1 ⋅ ( − 1 , − 1 ) = ( 0 , 0 )
発展 形式的付値から真に代数的な理論へ 上の熱帯直線は任意の係数から手で作ったものだが、最も奥深い熱帯曲線は実際の代数多様体を熱帯化（トロピカル化） することから生まれる。K K K 付値 v a l : K ∗ → R \mathrm{val} : K^* \to \mathbb{R} val : K ∗ → R v a l ( a b ) = v a l ( a ) + v a l ( b ) \mathrm{val}(ab) = \mathrm{val}(a) + \mathrm{val}(b) val ( ab ) = val ( a ) + val ( b ) v a l ( a + b ) ≥ min ( v a l ( a ) , v a l ( b ) ) \mathrm{val}(a+b) \ge \min(\mathrm{val}(a), \mathrm{val}(b)) val ( a + b ) ≥ min ( val ( a ) , val ( b )) C { { t } } \mathbb{C}\{\!\{t\}\} C { { t }} v a l \mathrm{val} val t t t p p p Q p \mathbb{Q}_p Q p v a l \mathrm{val} val p p p v a l \mathrm{val} val t r o p : ( K ∗ ) n → R n \mathrm{trop} : (K^*)^n \to \mathbb{R}^n trop : ( K ∗ ) n → R n t r o p ( x 1 , … , x n ) = ( v a l ( x 1 ) , … , v a l ( x n ) ) \mathrm{trop}(x_1, \dots, x_n) = (\mathrm{val}(x_1), \dots, \mathrm{val}(x_n)) trop ( x 1 , … , x n ) = ( val ( x 1 ) , … , val ( x n )) X ⊆ ( K ∗ ) n X \subseteq (K^*)^n X ⊆ ( K ∗ ) n 熱帯化 t r o p ( X ) \mathrm{trop}(X) trop ( X ) t r o p ( X ( K ) ) \mathrm{trop}(X(K)) trop ( X ( K )) R n \mathbb{R}^n R n
この形式的な機構を本物の代数幾何学へと結びつける最も重要な事実が、熱帯幾何学の基本定理 である：非自明な付値を持つ代数閉体 K K K I I I X = V ( I ) ⊆ ( K ∗ ) n X = V(I) \subseteq (K^*)^n X = V ( I ) ⊆ ( K ∗ ) n t r o p ( X ) \mathrm{trop}(X) trop ( X ) I I I V ( t r o p ( I ) ) ) V(\mathrm{trop}(I))) V ( trop ( I ))) X X X 解析的 な熱帯化と、イデアルのみから構成される純粋に組合せ論的 な熱帯多様体が一致するのである。超曲面の場合（定義多項式が1つの場合）は1990年代にミハイル・カプラノフによって証明された。任意のイデアルに対する一般的な主張は、グレブナー理論と始めイデアルによる完全な証明とともに、2000年代に開発された熱帯グレブナー基底の手法をもとに、ダイアン・マクラガンとベルント・シュトゥルムフェルスによる 2015 2015 2015
誰かがこれを「熱帯」と呼ぶよりずっと前から、計算機科学者たちはすでに手で熱帯線形代数を行っていた。重み付き有向グラフ上の全点対最短経路問題 は ( min , + ) (\min, +) ( min , + ) A A A i i i j j j A i j A_{ij} A ij n × n n \times n n × n A i j = + ∞ A_{ij} = +\infty A ij = + ∞ A i i = 0 A_{ii} = 0 A ii = 0 熱帯行列積 を通常の線形代数とまったく同じ形で、ただし + + + ⊕ \oplus ⊕ × \times × ⊗ \otimes ⊗ ( A ⊗ B ) i j = ⨁ k ( A i k ⊗ B k j ) = min k ( A i k + B k j ) (A \otimes B)_{ij} = \bigoplus_k \big(A_{ik} \otimes B_{kj}\big) = \min_k \big(A_{ik} + B_{kj}\big) ( A ⊗ B ) ij = ⨁ k ( A ik ⊗ B k j ) = min k ( A ik + B k j )
d i j ( k ) = min ( d i j ( k − 1 ) , d i k ( k − 1 ) + d k j ( k − 1 ) ) d_{ij}^{(k)} = \min\big(d_{ij}^{(k-1)},\ d_{ik}^{(k-1)} + d_{kj}^{(k-1)}\big) d ij ( k ) = min ( d ij ( k − 1 ) , d ik ( k − 1 ) + d k j ( k − 1 ) ) A A A n n n ( min , + ) (\min,+) ( min , + ) A ⊗ m A^{\otimes m} A ⊗ m A A A m m m ( A ⊗ ( n − 1 ) ) i j (A^{\otimes(n-1)})_{ij} ( A ⊗ ( n − 1 ) ) ij i i i j j j Floyd–Warshallアルゴリズム が計算する量であり、その漸化式 d i j ( k ) = min ( d i j ( k − 1 ) , d i k ( k − 1 ) + d k j ( k − 1 ) ) d_{ij}^{(k)} = \min\big(d_{ij}^{(k-1)},\ d_{ik}^{(k-1)} + d_{kj}^{(k-1)}\big) d ij ( k ) = min ( d ij ( k − 1 ) , d ik ( k − 1 ) + d k j ( k − 1 ) ) A ⊗ ( n − 1 ) A^{\otimes(n-1)} A ⊗ ( n − 1 )
なぜ正しいのか? 成分 ( A ⊗ m ) i j (A^{\otimes m})_{ij} ( A ⊗ m ) ij i i i j j j m m m n − 1 n - 1 n − 1 n n n n − 1 n - 1 n − 1
証明 m m m 基底段階 m = 1 m = 1 m = 1 ( A ⊗ 1 ) i j = A i j (A^{\otimes 1})_{ij} = A_{ij} ( A ⊗ 1 ) ij = A ij 帰納段階 ：( A ⊗ m ) i k (A^{\otimes m})_{ik} ( A ⊗ m ) ik k k k m m m i i i k k k ( A ⊗ ( m + 1 ) ) i j = ( A ⊗ m ⊗ A ) i j = min k ( ( A ⊗ m ) i k + A k j ) (A^{\otimes(m+1)})_{ij} = (A^{\otimes m} \otimes A)_{ij} = \min_k\big((A^{\otimes m})_{ik} + A_{kj}\big) ( A ⊗ ( m + 1 ) ) ij = ( A ⊗ m ⊗ A ) ij = min k ( ( A ⊗ m ) ik + A k j ) i i i j j j m + 1 m+1 m + 1 m m m k = j k = j k = j A j j = 0 A_{jj} = 0 A j j = 0 i i i k k k m m m k → j k \to j k → j k k k ( A ⊗ ( m + 1 ) ) i j (A^{\otimes(m+1)})_{ij} ( A ⊗ ( m + 1 ) ) ij m + 1 m + 1 m + 1 n − 1 n - 1 n − 1 m = n − 1 m = n - 1 m = n − 1 ( A ⊗ ( n − 1 ) ) i j (A^{\otimes(n-1)})_{ij} ( A ⊗ ( n − 1 ) ) ij
例: 小さな熱帯行列の2乗
3つの頂点 A , B , C A, B, C A , B , C A → B A \to B A → B 4 4 4 B → C B \to C B → C 3 3 3 A → C A \to C A → C 9 9 9 ( min , + ) (\min,+) ( min , + ) A = ( 0 4 9 ∞ 0 3 ∞ ∞ 0 ) A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 9 \\ \infty & 0 & 3 \\ \infty & \infty & 0 \end{pmatrix} A = 0 ∞ ∞ 4 0 ∞ 9 3 0 A , B , C A, B, C A , B , C ( A ⊗ A ) A C (A \otimes A)_{AC} ( A ⊗ A ) A C 9 9 9
解答 定義より ( A ⊗ A ) A C = min k ( A A k + A k C ) = min ( A A A + A A C , A A B + A B C , A A C + A C C ) = min ( 0 + 9 , 4 + 3 , 9 + 0 ) = min ( 9 , 7 , 9 ) = 7 (A \otimes A)_{AC} = \min_k(A_{Ak} + A_{kC}) = \min\big(A_{AA}+A_{AC},\ A_{AB}+A_{BC},\ A_{AC}+A_{CC}\big) = \min(0+9,\ 4+3,\ 9+0) = \min(9, 7, 9) = 7 ( A ⊗ A ) A C = min k ( A A k + A k C ) = min ( A AA + A A C , A A B + A B C , A A C + A C C ) = min ( 0 + 9 , 4 + 3 , 9 + 0 ) = min ( 9 , 7 , 9 ) = 7 7 7 7 A → B → C A \to B \to C A → B → C 9 9 9 B B B 2 ≤ n − 1 = 2 2 \le n - 1 = 2 2 ≤ n − 1 = 2
これはカタログの「s–t フローネットワーク」のグラフを、通常の最大フローとしての役割ではなく、単なる具体的な重み付き有向グラフ として示したものである——これはまさに ( min , + ) (\min,+) ( min , + ) 熱帯幾何学はまさに交差点に位置している。すべての熱帯多項式 p p p ニュートン多胞体 c o n v ( S ) ⊆ R n \mathrm{conv}(S) \subseteq \mathbb{R}^n conv ( S ) ⊆ R n c α c_\alpha c α 正則細分 を誘導する（各 α \alpha α c α c_\alpha c α X X X t r o p ( X ) \mathrm{trop}(X) trop ( X ) X X X 自体が小さな線形計画問題 になる：熱帯幾何学と凸・線形最適化は、同じ基礎となる ( min , + ) (\min, +) ( min , + )
まず正直に述べておく：これはライブラリの既製3Dポリトープの1つである一般的な四面体 であり、このページの特定の熱帯多項式のニュートン多胞体ではない 。実際のニュートン多胞体（熱帯直線、平面円錐曲線、あるいは上のグラフの例のもの）は通常、R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 平らな面を持ち分解（爆発）できる3D凸ポリトープ という一般的な考え方だけである——これは上で述べた凸幾何学・離散幾何学への橋渡しを支える対象（高さ関数によって細分されるニュートン多胞体）と同種のものである。 発展 百年をかけた形成:オートマトン理論から代数幾何学へ 歴史的ノート
min-plus半環は少なくとも2度、独立に発見された。オペレーションズ・リサーチ の分野では、ロバート・フロイド（1962 1962 1962 Algorithm 97: Shortest Path ）とスティーブン・ワーシャル（1962 1962 1962 A Theorem on Boolean Matrices ）が、バーナード・ロイの1959 1959 1959 Floyd–Warshall と呼ばれる最短経路・推移閉包アルゴリズムを発表した——これらはすべて、振り返れば ( min , + ) (\min,+) ( min , + ) 理論計算機科学 の分野では、イムレ・シモンの1978 1978 1978 Limited subsets of a free monoid が、正則言語の有限べき性質を判定するためにmin-plus重み付きオートマトンを導入した。これは後に彼の名を冠することになる半環の直接の先祖である。これら2つの伝統は何十年も並行して進んだ。2000年代 になってようやく、グリゴリー・ミハルキン、ベルント・シュトゥルムフェルス、ダイアン・マクラガン、デイビッド・スパイヤーらの数学者たちが、min-plus半環、ニュートン多胞体、非アルキメデス付値を組み合わせ、現在熱帯幾何学と呼ばれる幾何学的理論を作り上げた——その画期的な成果がミハルキンの *Enumerative tropical algebraic geometry in R 2 \mathbb{R}^2 R 2 2005 2005 2005 対応定理 を証明し、一般の位置にある点を通る複素代数曲線の古典的な数え上げが、適切に重みづけされた熱帯曲線を数えることで正確に計算できることを示した。これにより、単なる組合せ論的な珍現象にすぎなかったものが、数え上げ代数幾何学の本物の道具へと変貌したのである。
研究 熱帯幾何学の現在地 研究の最前線 2026年時点
2026年時点で 、熱帯幾何学は閉じた一章ではなく、いまなお活発な交差点であり続けている。3つの方向性が際立つ。(1) 数え上げ代数幾何学。 ミハルキンの2005 2005 2005 計算生物学。 枝の長さを持つ進化系統樹はそれ自体が一種の熱帯的・区分線形な対象であるため、系統樹空間（Billera–Holmes–Vogtmannのツリー空間など）は熱帯線形空間や熱帯グラスマン多様体へ自然に埋め込まれる；これにより研究者は、最尤推定やベイズ的系統推定における扱いにくい組合せ探索の一部を、熱帯凸性や熱帯中央値計算に置き換えることができる。(3) 非アルキメデス幾何学とベルコビッチ幾何学。 熱帯化は現在、非アルキメデス体上の多様体に付随するより豊かな解析的ベルコビッチ空間 の中に座す組合せ論的骨格として理解されている；進行中の研究（ベルコビッチ空間上の微分形式・ポテンシャル論・モンジュ・アンペール方程式、および熱帯的・ベルコビッチ双対複体を通じた曲線モジュライ空間の最高次重みコホモロジーを含む）は、熱帯的組合せ論と非アルキメデス解析幾何学の間の辞書をいっそう精緻にし続けている。未解決問題には、対応定理をより広いクラスの多様体へ拡張することや、どの熱帯多様体が実際に古典的多様体の熱帯化として生じるのかをより深く理解すること（実現可能性 の問題）が含まれる。
このページで使う min-plus 規約において、2 ⊕ 5 2 \oplus 5 2 ⊕ 5
熱帯多項式 p p p
熱帯化を元に戻して得られる通常の多項式がゼロになる点 p p p p p p R n \mathbb{R}^n R n その点のすべての座標が 0 0 0 熱帯曲線の頂点におけるつり合い条件 ∑ j w j v j = 0 \sum_j w_j v_j = 0 ∑ j w j v j = 0
曲線に直線かつ等しい長さの辺を持つことを強制するから この条件こそが、その複体を任意の多面体複体ではなく真に熱帯多項式の角の軌跡たらしめるものだから 熱帯曲線が有界であることを保証するから それは単なる慣習であり、幾何学的な意味は持たないから
Floyd–Warshall 最短経路アルゴリズムが熱帯幾何学の直接の歴史的祖先である理由は、それが本質的に次を計算しているからである。
グラフの隣接行列の固有値 グラフの重み行列の ( min , + ) (\min, +) ( min , + ) グラフの重み行列の行列式 ランダムウォークの定常分布