$\mathcal O_K$ は加法と乗法について閉じている

場合 $d\equiv2,3\pmod4$($\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt d]$、すなわち $a,b\in\mathbb Z$ であるすべての元 $a+b\sqrt d$):加法は成分ごとであり、$(a+b\sqrt d)+(c+e\sqrt d)=(a+c)+(b+e)\sqrt d$ は明らかに再びこの形である。乗法については、$(a+b\sqrt d)(c+e\sqrt d)=(ac+bed)+(ae+bc)\sqrt d$ であり、$a,b,c,e,d\in\mathbb Z$ なので $ac+bed$ と $ae+bc$ はともに整数であり、積は $\mathbb Z[\sqrt d]$ にとどまる。

場合 $d\equiv1\pmod4$($\mathcal O_K=\mathbb Z[\omega]$、$\omega=\tfrac{1+\sqrt d}2$):まず $\omega^2$ を直接計算する。$\omega^2=\left(\tfrac{1+\sqrt d}2\right)^2=\tfrac{1+2\sqrt d+d}4=\tfrac{1+d}4+\tfrac{\sqrt d}2$。$\sqrt d=2\omega-1$ なので、これは $\tfrac{1+d}4+\omega-\tfrac12=\tfrac{d-1}4+\omega$ となる。$d\equiv1\pmod4$ なので $t:=\tfrac{d-1}4$ は整数であり、$\omega^2=t+\omega$:これは $\omega$ がモニック整数多項式 $x^2-x-t$ を満たすという正真正銘の整数関係であり、$\omega$ 自体が整であることを確認する(定理1と整合するように、当然そうでなければならない)。さらに重要なことに、$\omega^2$ を再び $1$ と $\omega$ の整数結合として表している。

次に、$a,b,c,e\in\mathbb Z$ である一般の元 $a+b\omega$ と $c+e\omega$ を取る。加法は再び成分ごとであり明らかに閉じている。積については、$(a+b\omega)(c+e\omega)=ac+(ae+bc)\omega+be\,\omega^2=ac+(ae+bc)\omega+be(t+\omega)=(ac+bet)+(ae+bc+be)\omega$。係数 $ac+bet$ と $ae+bc+be$ はともに整数(整数の積と和)であり、積は $\mathbb Z+\mathbb Z\omega=\mathbb Z[\omega]$ に属する。

どちらの場合も、加法と乗法についての閉性は直接的で初等的な計算によって確認され、$\mathcal O_K$ がすべての二次体において $\mathbb Z$ を含む $K$ の真の部分環であることが確認される。これはまさに「整数環」という名前が約束する通りである。