数体と整数環

$K$ の整数が正確に何であるかを知ることは、$K$ における数論――元やイデアルの因数分解、類群の計算、どの素数が分岐するかの決定――を行うために必須の最初の一歩である。単純な推測 $\mathbb Z[\sqrt d]$ ではなく、$\mathcal O_K$ の正直な記述が必要であり、その推測はちょうど半分の場合に誤りである。

$\alpha=a+b\sqrt d$($a,b\in\mathbb Q$)と書く。$b=0$ ならば、$\alpha=a\in\mathbb Q$ が代数的整数であるのは $a\in\mathbb Z$(有理根定理)のとき、かつそのときに限る。これは $\mathbb Z[\sqrt d]$ の $b=0$ の場合である。$b\neq0$ ならば、$\mathbb Q$ 上の $\alpha$ の最小多項式は $x^2-2ax+(a^2-db^2)$(トレースは $2a$、ノルムは $a^2-db^2$)であるから、$\alpha$ が整であるのは $2a\in\mathbb Z$ かつ $a^2-db^2\in\mathbb Z$ のとき、かつそのときに限る。

$u=2a\in\mathbb Z$ とおく。$a^2-db^2\in\mathbb Z$ に $4$ を掛けると $u^2-4db^2\in4\mathbb Z\subset\mathbb Z$ となり、$4db^2\in\mathbb Z$ を得る。$b=p/q$(既約、$\gcd(p,q)=1$)と書くと、$4db^2=4dp^2/q^2\in\mathbb Z$ は $q^2\mid4dp^2$ を強制し、$\gcd(p,q)=1$ よりこれは $q^2\mid4d$ を強制する。$d$ が平方因子を持たないので、$4d$ を割り切る最大の平方数は高々 $4$ であり、$q^2\mid4$、すなわち $q\in\{1,2\}$。いずれにせよ $v:=2b\in\mathbb Z$ である。

次に $u=2a$、$v=2b$(ともに整数)を $a^2-db^2\in\mathbb Z$ に代入する:これは $\tfrac{u^2-dv^2}{4}\in\mathbb Z$、すなわち $u^2\equiv dv^2\pmod4$ となる。$4$ を法とする平方は $0$(偶数)または $1$(奇数)のみである。$v$ が偶数ならば、$dv^2\equiv0\pmod4$ は $u$ も偶数であることを強制する($u^2$ が奇数なら $1\not\equiv0$ となるため)。したがって $u,v$ はともに偶数、すなわち $a,b\in\mathbb Z$――常に成り立つ「自明な」解であり、これにより常に $\mathbb Z[\sqrt d]\subseteq\mathcal O_K$ となる。

$v$ が奇数ならば、$dv^2\equiv d\pmod4$($v^2\equiv1$ より)なので、$u^2\equiv d\pmod4$ が必要である。$d\equiv2,3\pmod4$(すなわち $d\equiv2,3\pmod4$)ならば、$u^2\in\{0,1\}\pmod4$ のどの平方も $2$ や $3\pmod4$ に等しくなり得ないので、この場合は不可能である――自明な $u,v$ がともに偶数の場合のみが残り、ちょうど $\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt d]$ となる。代わりに $d\equiv1\pmod4$($d\equiv1\pmod4$)ならば、$u^2\equiv1\pmod4$ が必要であり、$u$ が奇数であれば常に満たされる――$v$ はすでに奇数なので、$u\equiv v\pmod2$ が、$u,v$ がともに奇数である $\alpha=\tfrac{u+v\sqrt d}2$ のための条件にちょうど一致し、これは $\mathbb Z+\mathbb Z\cdot\tfrac{1+\sqrt d}2$ にほかならない(確認:$\tfrac{1+\sqrt d}2$ 自体は $u=v=1$、ともに奇数)。したがってこの場合 $\mathcal O_K=\mathbb Z\!\left[\tfrac{1+\sqrt d}2\right]$ であり、$\mathbb Z[\sqrt d]$(指数 $2$)より真に大きい。

これがそもそも $\mathcal O_K$ を整数環と呼ぶことを正当化する理由である:特に乗法について閉じていなければ、$K$ の2つの整数を掛け合わせても $\mathcal O_K$ の中にとどまるとは限らず、環論的な数論(因数分解、イデアル)が不可能になってしまう。

場合 $d\equiv2,3\pmod4$($\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt d]$、すなわち $a,b\in\mathbb Z$ であるすべての元 $a+b\sqrt d$):加法は成分ごとであり、$(a+b\sqrt d)+(c+e\sqrt d)=(a+c)+(b+e)\sqrt d$ は明らかに再びこの形である。乗法については、$(a+b\sqrt d)(c+e\sqrt d)=(ac+bed)+(ae+bc)\sqrt d$ であり、$a,b,c,e,d\in\mathbb Z$ なので $ac+bed$ と $ae+bc$ はともに整数であり、積は $\mathbb Z[\sqrt d]$ にとどまる。

場合 $d\equiv1\pmod4$($\mathcal O_K=\mathbb Z[\omega]$、$\omega=\tfrac{1+\sqrt d}2$):まず $\omega^2$ を直接計算する。$\omega^2=\left(\tfrac{1+\sqrt d}2\right)^2=\tfrac{1+2\sqrt d+d}4=\tfrac{1+d}4+\tfrac{\sqrt d}2$。$\sqrt d=2\omega-1$ なので、これは $\tfrac{1+d}4+\omega-\tfrac12=\tfrac{d-1}4+\omega$ となる。$d\equiv1\pmod4$ なので $t:=\tfrac{d-1}4$ は整数であり、$\omega^2=t+\omega$:これは $\omega$ がモニック整数多項式 $x^2-x-t$ を満たすという正真正銘の整数関係であり、$\omega$ 自体が整であることを確認する(定理1と整合するように、当然そうでなければならない)。さらに重要なことに、$\omega^2$ を再び $1$ と $\omega$ の整数結合として表している。

次に、$a,b,c,e\in\mathbb Z$ である一般の元 $a+b\omega$ と $c+e\omega$ を取る。加法は再び成分ごとであり明らかに閉じている。積については、$(a+b\omega)(c+e\omega)=ac+(ae+bc)\omega+be\,\omega^2=ac+(ae+bc)\omega+be(t+\omega)=(ac+bet)+(ae+bc+be)\omega$。係数 $ac+bet$ と $ae+bc+be$ はともに整数(整数の積と和)であり、積は $\mathbb Z+\mathbb Z\omega=\mathbb Z[\omega]$ に属する。

どちらの場合も、加法と乗法についての閉性は直接的で初等的な計算によって確認され、$\mathcal O_K$ がすべての二次体において $\mathbb Z$ を含む $K$ の真の部分環であることが確認される。これはまさに「整数環」という名前が約束する通りである。