二次体の整数環

$\alpha=a+b\sqrt d$($a,b\in\mathbb Q$)と書く。$b=0$ ならば、$\alpha=a\in\mathbb Q$ が代数的整数であるのは $a\in\mathbb Z$(有理根定理)のとき、かつそのときに限る。これは $\mathbb Z[\sqrt d]$ の $b=0$ の場合である。$b\neq0$ ならば、$\mathbb Q$ 上の $\alpha$ の最小多項式は $x^2-2ax+(a^2-db^2)$(トレースは $2a$、ノルムは $a^2-db^2$)であるから、$\alpha$ が整であるのは $2a\in\mathbb Z$ かつ $a^2-db^2\in\mathbb Z$ のとき、かつそのときに限る。

$u=2a\in\mathbb Z$ とおく。$a^2-db^2\in\mathbb Z$ に $4$ を掛けると $u^2-4db^2\in4\mathbb Z\subset\mathbb Z$ となり、$4db^2\in\mathbb Z$ を得る。$b=p/q$(既約、$\gcd(p,q)=1$)と書くと、$4db^2=4dp^2/q^2\in\mathbb Z$ は $q^2\mid4dp^2$ を強制し、$\gcd(p,q)=1$ よりこれは $q^2\mid4d$ を強制する。$d$ が平方因子を持たないので、$4d$ を割り切る最大の平方数は高々 $4$ であり、$q^2\mid4$、すなわち $q\in\{1,2\}$。いずれにせよ $v:=2b\in\mathbb Z$ である。

次に $u=2a$、$v=2b$(ともに整数)を $a^2-db^2\in\mathbb Z$ に代入する:これは $\tfrac{u^2-dv^2}{4}\in\mathbb Z$、すなわち $u^2\equiv dv^2\pmod4$ となる。$4$ を法とする平方は $0$(偶数)または $1$(奇数)のみである。$v$ が偶数ならば、$dv^2\equiv0\pmod4$ は $u$ も偶数であることを強制する($u^2$ が奇数なら $1\not\equiv0$ となるため)。したがって $u,v$ はともに偶数、すなわち $a,b\in\mathbb Z$――常に成り立つ「自明な」解であり、これにより常に $\mathbb Z[\sqrt d]\subseteq\mathcal O_K$ となる。

$v$ が奇数ならば、$dv^2\equiv d\pmod4$($v^2\equiv1$ より)なので、$u^2\equiv d\pmod4$ が必要である。$d\equiv2,3\pmod4$(すなわち $d\equiv2,3\pmod4$)ならば、$u^2\in\{0,1\}\pmod4$ のどの平方も $2$ や $3\pmod4$ に等しくなり得ないので、この場合は不可能である――自明な $u,v$ がともに偶数の場合のみが残り、ちょうど $\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt d]$ となる。代わりに $d\equiv1\pmod4$($d\equiv1\pmod4$)ならば、$u^2\equiv1\pmod4$ が必要であり、$u$ が奇数であれば常に満たされる――$v$ はすでに奇数なので、$u\equiv v\pmod2$ が、$u,v$ がともに奇数である $\alpha=\tfrac{u+v\sqrt d}2$ のための条件にちょうど一致し、これは $\mathbb Z+\mathbb Z\cdot\tfrac{1+\sqrt d}2$ にほかならない(確認:$\tfrac{1+\sqrt d}2$ 自体は $u=v=1$、ともに奇数)。したがってこの場合 $\mathcal O_K=\mathbb Z\!\left[\tfrac{1+\sqrt d}2\right]$ であり、$\mathbb Z[\sqrt d]$(指数 $2$)より真に大きい。