対角線による平行四辺形の特徴づけ

ステップ1（平行四辺形ならば対角線は互いの中点で交わる）。$ABCD$ を平行四辺形と仮定する。対辺は平行かつ長さが等しいので $AB = CD$ であり、二本の対角線が作る錯角は $\angle OAB = \angle OCD$ および $\angle OBA = \angle ODC$ を満たす。一辺とその両端の角がそれぞれ等しい（ASA合同条件）ので $\triangle AOB \cong \triangle COD$ となり、対応する辺から $OA = OC$ と $OB = OD$ が得られる。

ステップ2（対角線が互いの中点で交わるならば向かい合う三角形は合同になる）。逆に、$OA = OC$ かつ $OB = OD$ と仮定する。交点における対頂角は等しい（$\angle AOB = \angle COD$）ので、二辺夾角相等（SAS合同条件）により $\triangle AOB \cong \triangle COD$ となり、$\angle OAB = \angle OCD$ が従う。もう一組の対頂角（$\angle AOD = \angle COB$）に対しても全く同じ二辺夾角相等の議論を適用すれば $\triangle AOD \cong \triangle COB$ が得られ、$\angle OAD = \angle OCB$ が従う。

ステップ3（錯角が等しいことから対辺の平行が従う）。等式 $\angle OAB = \angle OCD$ と $\angle OAD = \angle OCB$ は、対角線という横断線が二組の対辺と作る錯角がそれぞれ等しいことを意味し、これより $AB \parallel CD$ かつ $AD \parallel BC$ が強制される。したがって $ABCD$ は平行四辺形である。