四角形と多角形

四辺以上の多角形を測るために新しい幾何学の公理は必要ない：一つの頂点から対角線に沿って図形を切り分ければ、どんな多角形も内角の和がそれぞれ $180^\circ$ であることが既知の三角形の集まりに帰着するからである。

ステップ1（対角線に沿って四角形を分割する）。凸四角形 $ABCD$ において対角線 $AC$ を引く。図形が凸であるため、この線分は完全に四角形の内部に収まり、四角形を二つの三角形 $\triangle ABC$ と $\triangle ACD$ に分割する。

ステップ2（各部分に三角形の内角の和を適用する）。$\triangle ABC$ において $\angle BAC + \angle B + \angle BCA = 180^\circ$ が成り立ち、$\triangle ACD$ において $\angle CAD + \angle D + \angle DCA = 180^\circ$ が成り立つ。

ステップ3（二つの等式を足し合わせて一般化する）。両方の等式を辺々足し合わせると $(\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle DCA) + \angle D = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$ となる。対角線の両端で隣り合う角はそれぞれ頂点の全体の角 $\angle BAC + \angle CAD = \angle A$ と $\angle BCA + \angle DCA = \angle C$ に合体するので、これは直ちに $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$ へと簡約される。$n$ 個の頂点をもつ凸多角形では、一つの頂点から $n - 3$ 本すべての対角線を引くと内部が $n - 2$ 個の三角形に分割され、その内角の総和は $(n - 2) \cdot 180^\circ$ となる。

この同値性により、平行な方向に関する命題（角度や傾きの測定が必要）が、中点に関する命題（二本の対角線上の長さが等しいかどうかの確認だけで済む）へと変換される。

ステップ1（平行四辺形ならば対角線は互いの中点で交わる）。$ABCD$ を平行四辺形と仮定する。対辺は平行かつ長さが等しいので $AB = CD$ であり、二本の対角線が作る錯角は $\angle OAB = \angle OCD$ および $\angle OBA = \angle ODC$ を満たす。一辺とその両端の角がそれぞれ等しい（ASA合同条件）ので $\triangle AOB \cong \triangle COD$ となり、対応する辺から $OA = OC$ と $OB = OD$ が得られる。

ステップ2（対角線が互いの中点で交わるならば向かい合う三角形は合同になる）。逆に、$OA = OC$ かつ $OB = OD$ と仮定する。交点における対頂角は等しい（$\angle AOB = \angle COD$）ので、二辺夾角相等（SAS合同条件）により $\triangle AOB \cong \triangle COD$ となり、$\angle OAB = \angle OCD$ が従う。もう一組の対頂角（$\angle AOD = \angle COB$）に対しても全く同じ二辺夾角相等の議論を適用すれば $\triangle AOD \cong \triangle COB$ が得られ、$\angle OAD = \angle OCB$ が従う。

ステップ3（錯角が等しいことから対辺の平行が従う）。等式 $\angle OAB = \angle OCD$ と $\angle OAD = \angle OCB$ は、対角線という横断線が二組の対辺と作る錯角がそれぞれ等しいことを意味し、これより $AB \parallel CD$ かつ $AD \parallel BC$ が強制される。したがって $ABCD$ は平行四辺形である。