有限整域は必ず体である

$a \in D$ を任意の非零元とし、$L_a(x) = ax$ で定義される左乗法写像 $L_a : D \to D$ を考える。

まず $L_a$ が単射であることを示す。$L_a(x) = L_a(y)$ とすると $ax = ay$、すなわち $a(x - y) = 0$ となる。$D$ は整域であり $a \neq 0$ であるから零因子は存在せず、$x - y = 0$ すなわち $x = y$ が従う。

$D$ は有限集合であるから、任意の単射 $D \to D$ は（鳩の巣原理 $|L_a(D)| = |D|$ により）自動的に全射となる。特に乗法単位元 $1 \in D$ は $L_a$ の像に含まれなければならず、$L_a(b) = ab = 1$ を満たす $b \in D$ が存在する。よって $b = a^{-1}$ であり、$a \neq 0$ は任意だったから $D$ は体である。