環と体

有限集合の上では、異なる2つの入力を決して同じ出力に送らない写像は、鳩の巣原理によって可能なすべての出力——$1$ を含む——に到達せざるを得ない。

$a \in D$ を任意の非零元とし、$L_a(x) = ax$ で定義される左乗法写像 $L_a : D \to D$ を考える。

まず $L_a$ が単射であることを示す。$L_a(x) = L_a(y)$ とすると $ax = ay$、すなわち $a(x - y) = 0$ となる。$D$ は整域であり $a \neq 0$ であるから零因子は存在せず、$x - y = 0$ すなわち $x = y$ が従う。

$D$ は有限集合であるから、任意の単射 $D \to D$ は（鳩の巣原理 $|L_a(D)| = |D|$ により）自動的に全射となる。特に乗法単位元 $1 \in D$ は $L_a$ の像に含まれなければならず、$L_a(b) = ab = 1$ を満たす $b \in D$ が存在する。よって $b = a^{-1}$ であり、$a \neq 0$ は任意だったから $D$ は体である。

$p$ が素数のときは、$p$ より小さいどの非零の数も $p$ と共通因数を持たないため、ベズーの等式が常に法 $p$ での逆元を作り出す。一方 $p$ が合成数のときは、その因数同士を掛けると $p \equiv 0$ となって可逆性が壊れる。

（$\Leftarrow$）$p$ を素数とし、$\bar{a} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を $1 \le a \le p - 1$ なる整数 $a$ で代表される任意の非零剰余類とする。$p$ は素数であり $p \nmid a$ であるから、$a$ と $p$ の最大公約数は $\gcd(a,p) = 1$ である。

ベズーの等式により、$au + pv = 1$ を満たす整数 $u, v \in \mathbb{Z}$ が存在する。両辺を法 $p$ で還元すると倍数 $pv$ は消え、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において $\bar{a}\,\bar{u} = \bar{1}$ が残る。よって $\bar{u} = \bar{a}^{-1}$ が $\bar{a}$ の乗法逆元となり、すべての非零元が可逆であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は体である。

（$\Rightarrow$）逆に $p$ が合成数であるとすると、整数 $1 < b, c < p$ によって $p = bc$ と書ける。$b$ と $c$ は真に $0$ と $p$ の間にあるので、それらの剰余類 $\bar{b}$ と $\bar{c}$ はともに $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ で非零であるが、その積は $\bar{b}\,\bar{c} = \overline{bc} = \bar{p} = \bar{0}$ となる。

したがって $\bar{b}$ は零因子であり、零因子が乗法逆元を持つことはあり得ない:もし $\bar{b}$ が逆元 $\bar{b}^{-1}$ を持てば、$\bar{b}\,\bar{c} = \bar{0}$ の左から $\bar{b}^{-1}$ を掛けることで $\bar{c} = \bar{0}$ が強いられ矛盾する。ゆえに $p$ が合成数のとき $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は体ではない。