分散のショートカット公式

定義により $\mathrm{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$($\mu = E[X]$)である。期待値の中の二乗を展開すると $(X-\mu)^2 = X^2 - 2\mu X + \mu^2$ となる。

期待値の線形性を各項に適用すると $E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - 2\mu E[X] + \mu^2$ となる。$\mu$ は定数(結果に依存しない)なので、中間項と最後の項では期待値の外に出すことができる。

ここで $E[X] = \mu$ を代入し直すと、$E[X^2] - 2\mu\cdot\mu + \mu^2 = E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 = E[X^2] - \mu^2$ となる。$\mu$ を $E[X]$ に置き換えれば、主張どおり $\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$ が得られる。