三角形の重心のベクトル恒等式

辺 $BC$ の中点を $M$ とする。$M$ は $BC$ を二等分するから、二つのベクトル $\overrightarrow{MB}$ と $\overrightarrow{MC}$ は同じ長さで逆向きとなり、$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ である。$G$ から $M$ を経由する三角形の法則より、$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{GM}$ が成り立つ。

$\triangle ABC$ の中線の性質より、重心 $G$ は中線 $AM$ 上にあり頂点から $2:1$ の比に内分するから、$\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$ である。

二つの関係式を足し合わせると $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GM}=\vec{0}$ となる。最後に任意の点 $O$ に対して $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}$（$B$ と $C$ も同様）と書き換えれば $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-3\overrightarrow{OG}=\vec{0}$、すなわち $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ が得られる。