ベクトル

三つの頂点 $A$、$B$、$C$ に等しい単位質量を置くと、ベクトル $\overrightarrow{GA}$、$\overrightarrow{GB}$、$\overrightarrow{GC}$ は $G$ から各頂点への引力を表す。それらの和が $\vec{0}$ になるのは、まさに $G$ が重心（質量中心）であるときである。

辺 $BC$ の中点を $M$ とする。$M$ は $BC$ を二等分するから、二つのベクトル $\overrightarrow{MB}$ と $\overrightarrow{MC}$ は同じ長さで逆向きとなり、$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ である。$G$ から $M$ を経由する三角形の法則より、$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{GM}$ が成り立つ。

$\triangle ABC$ の中線の性質より、重心 $G$ は中線 $AM$ 上にあり頂点から $2:1$ の比に内分するから、$\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$ である。

二つの関係式を足し合わせると $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GM}=\vec{0}$ となる。最後に任意の点 $O$ に対して $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}$（$B$ と $C$ も同様）と書き換えれば $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-3\overrightarrow{OG}=\vec{0}$、すなわち $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ が得られる。

$|\vec{u}-\vec{v}|^2$ を座標で展開し、$\vec{u}$、$\vec{v}$、$\vec{u}-\vec{v}$ が作る三角形における余弦定理と比較すると、長さの二乗の項が相殺されて交差項 $x_1x_2+y_1y_2$ だけが残る。

$\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ と $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ を原点 $O$ に置くと、$\overrightarrow{AB}=\vec{v}-\vec{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ となる。$\triangle OAB$ における余弦定理より、角 $\theta$ の対辺の長さの二乗は $|\vec{v}-\vec{u}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$ である。

一方、座標で長さの二乗を計算すると $|\vec{u}|^2=x_1^2+y_1^2$、$|\vec{v}|^2=x_2^2+y_2^2$、そして $|\vec{v}-\vec{u}|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2(x_1x_2+y_1y_2)$ となる。

$|\vec{v}-\vec{u}|^2$ の二つの表現を等置し、両辺から $x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$ を引くと $-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=-2(x_1x_2+y_1y_2)$ を得る。$-2$ で割れば $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$ が従う。